n teilt das Produkt von n aufeinander folgenden Zahlen

22.04.2018, 23:25

muff-in

n teilt das Produkt von n aufeinander folgenden Zahlen

Zu zeigen: n| a* (a+1)*(a+2)*....*(a+n-1)

Gibt es eine Moeglichkeit, dass ich hier a ausklammere? Eher nicht oder?

Also wenn ich mir ein Beispiel anschaue, z.B. 3 teilt 7*8*9:
Ich weiss, dass 3 dieses Produkt teilt, weil 9 als Primfaktor die drei hat

Oder z.B. 4 teilt 5*6*7*8
Auch hier, als Primfaktor ist 2^2 vorhanden.

Aber wie kann ich das jetzt generell zeigen?

Edit1: Also, z.B. fuer n = 2 koennte man argumentieren, da bei dem Produkt zweier aufeinanderfolgenden natuerlichen Zahlen eins der Faktoren gerade sein muss, ist das Produkt immer durch zwei teilbar. Koennte ich jetzt per Induktion weiter machen?

23.04.2018, 00:46

sibelius84

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Hi,

du bist da schon ziemlich auf dem richtigen Weg! Es gibt genau ein k mit a € [kn, (k+1)n) (also Intervall links abgeschlossen, rechts offen). Falls a=kn, gilt die Behauptung sowieso. Falls a>kn, kommt (k+1)n unter den n auf a folgenden Zahlen vor, also folgt wieder die Behauptung.

Tatsächlich gilt sogar noch viel mehr, nämlich dass das Produkt n aufeinanderfolgender Zahlen stets von n! geteilt werden. Mit anderen Worten: Der Binomialkoeffizient

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix} = \overbrace{\frac{N\cdot(N-1)\cdot\ldots\cdot(N-n+1)}{n!}}^{n \,aufeinanderfolgende \,Zahlen} \end{eqnarray*}$

ist stets eine ganze Zahl. Wenn man die Aussage so formuliert, kann man sie unter Benutzung der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten sehr leicht mit vollständiger Induktion beweisen.

LG
sibelius84

23.04.2018, 14:06

muff-in

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Danke fuer deine Antwort.

Zitat:

du bist da schon ziemlich auf dem richtigen Weg! Es gibt genau ein k mit a € [kn, (k+1)n) (also Intervall links abgeschlossen, rechts offen). Falls a=kn, gilt die Behauptung sowieso. Falls a>kn, kommt (k+1)n unter den n auf a folgenden Zahlen vor, also folgt wieder die Behauptung.

Wie koennte man denn beweisen, dass dieses (k+1)n unter den n auf a folgenden Zahlen vorkommt, also dass es existiert? Es ist ja naemlich nicht immer die letzte Zahl, die die Teilbarkeit ermoeglicht oder?

zb bei 7 waere das Produkt aus 23*24*25*26*27*28*29, und da ist weder die erste noch die letzte Zahl durch 7 teilbar.

23.04.2018, 15:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von muff-in
Wie koennte man denn beweisen, dass dieses (k+1)n unter den n auf a folgenden Zahlen vorkommt, also dass es existiert? Es ist ja naemlich nicht immer die letzte Zahl, die die Teilbarkeit ermoeglicht oder?

Man kann das durch einen indirekten Beweis begründen: Angenommen, keiner der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Faktoren $\begin{eqnarray*} a,a+1,\ldots,a+n-1 \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilbar.

Dann betrachten wir die größte durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilbare Zahl, die $\begin{eqnarray*} <a \end{eqnarray*}$ ist, dies sei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Es ist daher $\begin{eqnarray*} b\leq a-1 \end{eqnarray*}$ . (*)

Genauso betrachten wir die kleinste durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilbare Zahl, die $\begin{eqnarray*} >a+n-1 \end{eqnarray*}$ ist, dies sei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Hier ist $\begin{eqnarray*} c\geq a+n \end{eqnarray*}$ . (**)

Aufgrund unserer Annahme müssen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aber zwei aufeinander folgende (!) Vielfache von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein...

23.04.2018, 17:14

muff-in

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Danke HAL 9000 fuer deine Antwort. Allerdings sehe ich den wiederspruch noch nicht ganz:
Fuer die beiden Ungleichungen gilt dann:

$\begin{eqnarray*} b+1 \leq a\leq c+n \end{eqnarray*}$

und b+1 und c+n sind nach Voraussetzung durch n teilbar.

Kommt der Wiederspruch da durch zustande, dass "kleiner gleich" gilt, anstatt nur "kleiner als"?
Bei einer gleichheit waere es tatsaechlich unmoeglich, aber sonst koennte man doch theoretisch so etwas konstruieren, oder?

23.04.2018, 17:18

HAL 9000

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Aufeinander folgende Vielfache von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben den Abstand $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} c-b=n \end{eqnarray*}$ .

Aus (*) und (**) folgt jedoch $\begin{eqnarray*} c-b\geq a+n-(a-1) = n+1 \end{eqnarray*}$ .

23.04.2018, 17:34

muff-in

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Ergibt nicht c-b

$\begin{eqnarray*} c - b\geq a+n-1-(a-1) = n \end{eqnarray*}$

23.04.2018, 17:38

muff-in

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Ah nein nein, ich habs verstanden.

Passt, dankeschoen smile

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