Stochastische Unabhängigkeit eines Produktes

23.04.2018, 14:05

HUba

Stochastische Unabhängigkeit eines Produktes

Meine Frage:
Wenn X_t , t=1,2.. u.i.v. ZV sind und Y_t, t=1,2,... ebenfalls sowie X_t unabhängig von Y_t wie zeige ich, dass Z_t:=X_t*Y_t unabhängig ist?
Sagen wir mal ZV sind diskret die die Werte 1 und -1 mit W'keit 1/2.

Meine Ideen:
Für die Unabhängigkeit von Z muss gelten

IP(Z_t = z_t , Z_s=z_s) = IP(Z_t = z_t) IP(Z_s=z_s).

Einsetzen

IP(X_t*Y_t = x_t*y_t , X_s*Y_s=x_s*y_s) = IP(X_t = x_t, Y_t=y_t , X_s=x_s, Y_s=y_s)= IP(X_t = x_t) IP(Y_t=y_t) IP(X_s=x_s) IP(Y_s=y_s)=...

das ist Falsch! aber was vergesse ich hierbei? geht das überhaupt in die richtige Richtung?

Bertachten wir exemplarisch mal das Ereigniss

{Z_t=1} = ({X_t=1}n{Y_t=1})U({X_t=-1}n{Y_t=-1})
= ({X_t=1}u{Y_t=-1}) n ({Y_t=1}u{X_t=-1}) (analog für Z_s)

Kann ich damit jetzt sagen :

IP(Z_t = z_t , Z_s=z_s)
= IP(({X_t=1}u{Y_t=-1}) n ({Y_t=1}u{X_t=-1}) n ({X_s=1}u{Y_s=-1}) n ({Y_s=1}u{X_s=-1}))
=IP(({X_t=1}u{Y_t=-1}) n ({Y_t=1}u{X_t=-1})) * IP(({X_s=1}u{Y_s=-1}) n ({Y_s=1}u{X_s=-1}))
=IP(Z_t = z_t) IP(Z_s=z_s) ?

23.04.2018, 16:32

HAL 9000

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Eigentlich kann man das in einem viel, viel größerem Kontext sehen, und dabei muss man nicht mal konkret rechnen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} (\mathcal{A}_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine Familie von Sigma-Algebren über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , dabei muss Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ nicht mal abzählbar sein. Beispielsweise (etwa für deinen Kontext) kann man $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_i=\sigma(X_i):=X_i^{-1}\left(\mathcal{B}^1\right) \end{eqnarray*}$ wählen, also die von der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigma-Algebra (hierbei kennzeichne $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^1 \end{eqnarray*}$ die Borel-Sigma-Algebra des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ ).

Nun sei $\begin{eqnarray*} I \supseteq \bigcup_{k\in K} J_k \end{eqnarray*}$ mit paarweise disjunkten Indexmengen $\begin{eqnarray*} J_k \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

Ist $\begin{eqnarray*} (\mathcal{A}_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ unabhängig, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \left( \sigma\left(\left\{ \mathcal{A}_i:\; i\in J_k\right\} \right) \right)_{k\in K} \end{eqnarray*}$ unabhängig.

Von diesem hohen Ross mal "runtergebrochen" in Richtung deines Spezialfalls:

Sind $\begin{eqnarray*} \{X_1,Y_1,X_2,Y_2,\ldots\} \end{eqnarray*}$ unabhängig, dann laut Definition auch deren erzeugte Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} \{\sigma(X_1),\sigma(Y_1),\sigma(X_2),\sigma(Y_2),\ldots\} \end{eqnarray*}$ , und laut diesem oben zitierten Satz über eine entsprechende Neugruppierung dann aber auch $\begin{eqnarray*} \{\sigma(X_1,Y_1),\sigma(X_2,Y_2),\ldots\} \end{eqnarray*}$ . Haben wir insbesondere dann messbare Funktionen $\begin{eqnarray*} F_k:\;\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so bedeutet diese letzte Unabhängigkeit, dass auch die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} \{F_1(X_1,Y_1),F_2(X_2,Y_2),\ldots\} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind! Speziell bei dir würde man dann einfach immer dieselbe messbare Funktion $\begin{eqnarray*} F_k(x,y)=x\cdot y \end{eqnarray*}$ verwenden, und ist fertig.

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EDIT: Ich hab nochmal über die Formulierung

Zitat:

Original von HUba
Wenn X_t , t=1,2.. u.i.v. ZV sind und Y_t, t=1,2,... ebenfalls sowie X_t unabhängig von Y_t

nachgedacht, die ist an sich schwächer als das, was ich oben benutze. Allerdings ist mit dieser schwächeren Voraussetzung auch deine Satzaussage falsch:

Nehmen wir nur mal $\begin{eqnarray*} (X_t)_{t=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ u.i.v. wie von dir vorausgesetzt, und definieren nun aber $\begin{eqnarray*} Y_{2k-1}=X_{2k} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y_{2k}=X_{2k-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} (Y_t)_{t=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ u.i.v. und außerdem auch $\begin{eqnarray*} X_t,Y_t \end{eqnarray*}$ unabhängig für jedes feste $\begin{eqnarray*} t=1,2\ldots \end{eqnarray*}$ . (Was hier in diesem Beispiel aber fehlt, ist die generelle Unabhängigkeit, u.a. auch die paarweise von $\begin{eqnarray*} X_s,Y_t \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s\neq t \end{eqnarray*}$ ).

Man sieht dann sofort, dass $\begin{eqnarray*} Z_{2k-1} = X_{2k-1}\cdot Y_{2k-1} = X_{2k-1}\cdot X_{2k} = Z_{2k} \end{eqnarray*}$ ist. Wenn man die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ nicht gerade als konstante Zufallsgrößen wählt, bedeutet diese Gleichheit dann aber keine Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Z_{2k-1},Z_{2k} \end{eqnarray*}$ , d.h. die Behauptung gilt hier für dieses Beispiel nicht.

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