Wahrscheinlichkeit explizit ausgeben

23.04.2018, 18:19

Dirk22

Wahrscheinlichkeit explizit ausgeben

Meine Frage:
Y_1, Y_2,... seien unabhängige Zufallsgrößen mit Verteilung q=(q_n) mit 0 < q_0 < 1.

X_0:= 3 , X_(n+1)= max(X_(n) -1,0) + Y_(n+1)

Bestimme Wahrscheinlichkeit P(X_(n+1)=x_(n+1)| X_0=x_0,...,X_n=x_n) explizit.

Meine Ideen:
P(X_(n+1)=x_(n+1)| X_0=x_0,...,X_n=x_n) =P(max(X_n -1,0) + *Y_(n+1)=x_(n+1) | X_0=x_0,...,X_n=x_n) mit Unabhängigkeit von Y_n folgt: P(Y_(n+1)=x_(n+1)-max(X_n -1,0)

Aber wie ich jetzt die Wahrscheinlichkeit konkret angeben soll weiß ich nicht.

23.04.2018, 19:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dirk22
Y_1, Y_2,... seien unabhängige Zufallsgrößen mit Verteilung q=(q_n) mit 0 < q_0 < 1.

Das soll wohl bedeuten $\begin{eqnarray*} P(Y_k=n)=q_n \end{eqnarray*}$ ?

Ansonsten geht wohl aus der Iteration $\begin{eqnarray*} X_{n+1}=\max(X_n-1,0)+Y_{n+1} \end{eqnarray*}$ klar hervor, dass $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n=0,1,\ldots} \end{eqnarray*}$ die Markov-Eigenschaft besitzt, genauer gesagt ist

$\begin{eqnarray*} P\left(X_{n+1}=x_{n+1} \mid X_0=x_0,\ldots,X_n=x_n\right) &=& P\left( \max(X_n-1,0)+Y_{n+1}=x_{n+1} \mid X_0=x_0,\ldots,X_n=x_n\right)\\ &=& P\left( Y_{n+1}=x_{n+1}-\max(x_n-1,0) \mid X_0=x_0,\ldots,X_n=x_n\right) = P\left( Y_{n+1}=x_{n+1}-\max(x_n-1,0)\right) \end{eqnarray*}$

letzteres, weil $\begin{eqnarray*} Y_{n+1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X_0,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig ist.

23.04.2018, 19:54

Dirk22

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Genau, die Markoff-Eigenschaft habe ich somit schnell bewiesen. Nun soll man aber die Wahrscheinlichkeiten konkret ausweisen, also wohl mit Fallunterscheidung, da weiß ich aber nicht wie ich das konkret machen soll.

Ich denke mal das könnte man so interpretieren, genau sagen kann ich es dir auch nicht, ich habe es hier auch nur so stehen wie ich es geschrieben habe.

23.04.2018, 20:12

HAL 9000

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Ähem, ich hab den letzten Schritt nicht hingeschrieben, aber es ist natürlich $\begin{eqnarray*} P\left( Y_{n+1}=x_{n+1}-\max(x_n-1,0)\right) = q_{x_{n+1}-\max(x_n-1,0)} \end{eqnarray*}$ .

Wie soll es denn noch "expliziter" werden? Augenzwinkern

23.04.2018, 20:18

Dirk22

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Ok, ja ich denke wohl mal das es dann so gemeint ist. Noch eine Frage, bei deinem ersten Post die letzte Begründung folgt daher, dass man die X_n mit Hilfe der Y_n darstellen kann? Zuerst haben wir ja nur die Unabhängigkeit der Y_n.

23.04.2018, 21:04

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ hängt nur von $\begin{eqnarray*} Y_1,\ldots,Y_n \end{eqnarray*}$ ab, nicht aber $\begin{eqnarray*} Y_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Aus der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Y_1,\ldots,Y_n,Y_{n+1} \end{eqnarray*}$ folgt nun die Unabhängigkeit der zwei Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} g(Y_1,\ldots,Y_n),Y_{n+1} \end{eqnarray*}$ für jede beliebige messbare Funktion $\begin{eqnarray*} g:\;\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

24.04.2018, 13:59

Dirk66

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Wenn ich nun noch auf die Martingaleigenschaft überprüfen soll, dann bestimme ich den Erwartungswert E(X_(n+1) | X_0=x_0,...,X_n=x_n)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x_{n+1}\in Z}^{} x_{n+1}*q_{x_{n+1}-max{(x_{n+1}-1,0}) } \end{eqnarray*}$ für Martingal müsste dieser Ausdruck gleich x_n sein, wie mache ich hier weiter?

24.04.2018, 14:19

HAL 9000

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Nun, zunächst mal hast du da einen Fehler in den Index bei $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ reingebracht, tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} E\left(X_{n+1} \mid X_0=x_0,\ldots,X_n=x_n\right)=\sum_{x_{n+1}\in Z} x_{n+1}\cdot q_{x_{n+1}-\max(x_n-1,0)} \end{eqnarray*}$

Zur Vereinfachung: Du könntest natürlich eine Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} j=x_{n+1}-\max(x_n-1,0) \end{eqnarray*}$ durchführen, dann geht es weiter mit

$\begin{eqnarray*} \ldots = \sum_{j\in Z} \left(j+\max(x_n-1,0)\right) q_j = \max(x_n-1,0) + \sum_{j\in Z} jq_j \end{eqnarray*}$ ,

der letztere Summand ist der Erwartungswert der Verteilung $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

24.04.2018, 14:39

dirk66

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Ok, das kann ich soweit nachvollziehen. Über den Erwartungswert von q kann ich aber nicht s konkretes sagen oder?

24.04.2018, 17:30

HAL 9000

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Wenn du nichts weiter über ihn vorausgesetzt hast - woher soll ich denn genaueres wissen? Ich weiß nur das, was du oben über $\begin{eqnarray*} (q_n) \end{eqnarray*}$ angegeben hast, und das ist herzlich wenig (gerade mal $\begin{eqnarray*} 0<q_0<1 \end{eqnarray*}$ ).

Bei vollständig gegebener Verteilung $\begin{eqnarray*} (q_n) \end{eqnarray*}$ kann man den Erwartungswert jedenfalls über diese Formel ausrechnen, sollte bekannt sein.

24.04.2018, 18:39

dirk66

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Ne ist nichts dazu angegeben, deswegen wundert es mich wie ich hier weiter die Martingaleigenschaften prüfen soll.

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