Determinante und dim(v)

25.04.2018, 21:49	annnni	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante und dim(v) Guten Abend zusammen, Es geht um folgendes: Sei $\begin{eqnarray} V = <sin(x), cos(x), xcos(x),xsin(x)> \leq \mathbb R^{\mathbb R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \in End(V) \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \alpha(f):=f' \end{eqnarray}$ (erste Ableitung). Berechne dim(V), eine Basis B von V, $\begin{eqnarray} ^B\alpha^B \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} det(\alpha) \end{eqnarray}$ . Ich hänge fest mit dieser Aufgabe. Somit möchte ich erst fragen, wie kann man genau dim(v) rechnen? Danke im Voraus!
25.04.2018, 22:56	annnni	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier bin ich jetzt: Sei B := (sinx, cosx, xcosx, xsinx). Dann ist $\begin{eqnarray} ^B\alpha^B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} det(\alpha) = 1 \end{eqnarray}$ Aber wie weiß ich die Dimension von V und wie kann ich sicher sein, dass B eine Basis von V ist?
26.04.2018, 12:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nur noch zeigen, dass die 4 Funktionen linear unabhängig sind, dann ist B eine Basis von V, und dann ist dim V=4. (Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Die Anzahl der Elemente einer Basis ist die Dimension des Vektorraums.)

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