Summe von 1+2^k

26.04.2018, 14:11

Dummkopfi

Summe von 1+2^k

Meine Frage:
Hallo, ich hab eine dumme Frage über etwas das eigentlich kein Problem sein sollte aber ich hab da ne totale Denkblockade.

Aufgabe ist folgende:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (1+2^k) \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} a_n=(1+2^n) \end{eqnarray*}$ ist
Und ich soll die Summe berechnen.

Meine Ideen:
Das erste was ich gemacht hab ist den Kram zu trennen, also
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (1) + \sum\limits_{k=0}^{n} (2^k) \end{eqnarray*}$

Aber jetzt häng ich etwas fest.
Die Summe von 1 ist ja dann "n" oder?
Also habe ich $\begin{eqnarray*} n+ \sum\limits_{k=0}^{n} (2^k) \end{eqnarray*}$

Und bei dem 2^k würd ich sagen es geht mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1-2^n}{1-2} \end{eqnarray*}$

und insgesamt kommt dann n - 1 + 2^n raus, aber laut Lösung stimmt das nicht, es sollte (n + 2^n+1) rauskommen und ich weiß nicht ganz warum

26.04.2018, 14:29

Manuel7237

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RE: Summer von 1+2^k
Hallo,
es ist doch so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (2^k) = \frac{1-2^{n+1}}{1-2}= -(1-2^{n+1}) = 2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

26.04.2018, 14:33

Leopold

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RE: Summer von 1+2^k

Zitat:

Original von Dummkopfi
Die Summe von 1 ist ja dann "n" oder?

Na ja - fast ...
Schau dir den Indexbereich der Summe an und zähle die Einsen noch einmal.

Zitat:

Original von Dummkopfi
Und bei dem 2^k würd ich sagen es geht mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1-2^n}{1-2} \end{eqnarray*}$

Auch das stimmt nicht ganz. Im Zähler muß es $\begin{align*} 1 - 2^{n+1} \end{align*}$ heißen.

Zitat:

Original von Dummkopfi
es sollte (n + 2^n+1) rauskommen und ich weiß nicht ganz warum

Die Klammersetzung stimmt nicht. Du hast $\begin{align*} n + 2^n + 1 \end{align*}$ geschrieben. Das meinst du aber vermutlich nicht.

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