Grenzwerte ermitteln

Neue Frage »

26.04.2018, 20:33

Rotfuchs

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwerte ermitteln

Hey

Ich kommt mit einem Beispiel nicht voran und hoffe mir kann jemand weiterhelfen smile

Die Funktion f(x) ist gegeben und man soll den Definitionsbereich und die Grenzwerte für x-> + und - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und x-> gegen die Lücken im Definitionsbereich ermitteln.

f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{(x^2)+(4x)+4}{(3x^3)+1} \end{eqnarray*}$

Für den Definitionsbereich hab ich den Term im Nenner gleich 0 gesetzt und so x= $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{-1/3} \end{eqnarray*}$ erhalten. Der Definitionsbereich ist somit D=R / $\begin{eqnarray*} (3\sqrt{-1/3}) \end{eqnarray*}$

Beim Grenzwert stoß ich aber auf einige Probleme. In der Vorlesung haben wir den Grenzwert von x-> + & - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ zusammen gemacht, aber sollte man das nicht eigentlich getrennt rechnen, um herauszufinden wie sich die Funktion gegen + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

auf der rechten Seite und gegen - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite verhält? Wenn wir dann den Grenzwert von x-> Lücken im Definitionsbereich ermitteln sollen und die Lücke zb + & - 2 ist, dann müsste man doch auch 4 Grenzwerte ausrechnen, oder?

In diesem Fall bin ich auf folgende Weise vorgegangen:

lim (x-> $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \frac{(x^2)+(4x)+4}{(3x^3)+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(x^3)*((1/x)+(4/(x^2))+(4/(x^3)}{(x^3)*(3+(1/(x^3)))} \end{eqnarray*}$

Muss ich hier im Nenner und im Zähler ein x mit dem gleichen Exponenten herausheben oder könnte ich oben (x^2) und unten (x^3) nehmen?

Die Terme mit einem x im Nenner streiche ich weg, da sie gegen 0 gehen:
= lim (x-> + $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(x^3)*(0+0+0}{(x^3)*(3+0)} \end{eqnarray*}$ = lim (x-> + $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \frac{(x^3)}{3*(x^3)} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert in dem Fall ist $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Das ist das Ergebnis auf das ich komme, in meinem Skript steht aber das Ergebnis 0, da dort auch das herausgehobene (x^3) weggestrichen wurde und man somit 0/3 erhält und das 0 ist. Muss man immer das herausgehobene wegstreichen?

Beim Grenzwert der gegen die Lücken geht - also in diesem Fall gegen + & - $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{-1/3} \end{eqnarray*}$ wird das herausgehobene (x^3) plötzlich nicht mehr weggestrichen. Wieso?

Eine weitere Sache, die ich nicht verstehe ist, wenn man den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert ermittelt, dann fügt man dem x-> $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{-1/3} \end{eqnarray*}$ wenn von links ein Minus und wenn von rechts ein Plus hinzu. Multipliziert man dann das $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{-1/3} \end{eqnarray*}$ einfach mit *(-1) und erhält dann beim linksseitigen Grenzwert zum Beispiel $\begin{eqnarray*} - 3\sqrt{-1/3} \end{eqnarray*}$ ??

Vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüße, Rotfuchs smile

26.04.2018, 20:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte ermitteln

Zitat:

Original von Rotfuchs
und so x= $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{-1/3} \end{eqnarray*}$ erhalten.

LaTeX-Hinweis: $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{-1/3} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man auf Nummer Sicher geht (was den Definitionsbereich der Drittwurzelfunktion betrifft, für den bisweilen nur nichtnegative Zahlen betrachtet werden), dann schreibt man wohl besser $\begin{eqnarray*} x=-\sqrt[3]{1/3} \end{eqnarray*}$ .

26.04.2018, 20:48

Rotfuchs

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass es eigentlich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1/3} \end{eqnarray*}$ ist - ich hab die Formel am Anfang nicht gefunden... smile

26.04.2018, 21:54

Rotfuchs

Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem danke! smile

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwerte ermitteln

Verwandte Themen