Beweis-Ableitungsregel

03.09.2004, 23:01

Croven

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Beweis-Ableitungsregel

Hallo,

ich sollte heute die Funktion:

f(x)=x^(3/2)-x(1/2)

ableiten, so, und da dachte ich mir, machste es ganz normal mit

f(x)=x^n-x^n

f´(x)=nx^(n-1)-nx^(n-1)

z.b., die ableitung ist richtig, aber der lehrer hat gemeint, dass er einen beweis haben wolle, naja, und da scheitere ich so ein bisschen dran..
wäre auf jeden fall cool, wenn einer ne idee hat
thx schonmal smile

smile

Dennis :P

03.09.2004, 23:06

Mathespezialschüler

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RE: Beweis-Ableitungsregel
Hast du schonmal was vom Differentialquotienten gehört? Der sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Das könntest du z.B. auf die Funktion anwenden.

PS: Was kann man als Vorwissen voraussetzen? Habt ihr schonmal mit diesem Differentialquotienten gearbeitet? Und kennst du schon die Ableitungen für e^x und ln(x) und die ganzen Ableitungsregeln (Summen-, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel u.Ä.)??

Übrigens:

Zitat:

f(x)=x^n-x^n

Das darfst du hier so nicht machen, weil x^n-x^n ist 0! Die Exponenten sind ja nicht gleich, du musst also verschieden Variablen wählen, z.B. x^n-x^z oder du drückst den einen Exponenten durch den anderen aus, also x^n - x^(n-1). Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.09.2004, 23:16

Croven

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hehe, ganz ehrlich, ich war am grübeln, ob ich das machen sollten, aber dann dachtei ch egal Augenzwinkern

Augenzwinkern

differentialquotienten klar...

f(x+h)-f(x)
---------------
h

oder

f(x)-f(x0)
--------------
x-x0

ich hab da aber so ne andere idee, wir haben ja schon nen beweis, dass die Produktregel funktinioniert. und das hier ist meine idee:

f(x)=x^(3/2)-x(1/2)

umschreiben in

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}*(x-1) \end{eqnarray*}$

dann Produktregel:
u'(x)*v(x)+u(x)*v´(x)

und dann kommt das gleiche raus, nämlich:

$\begin{eqnarray*} 1/2*\sqrt{x} -1/(2*\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

geht das auch ? smile

smile

weil wenn das geht, kann ich das ganze ja mit variablen allgemein gültig machen smile

smile

03.09.2004, 23:20

Mathespezialschüler

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Dazu musst du aber erst die Ableitungsregel für $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ beweisen.

Summenregel werdet ihr ja dann auch schon haben und x^n habt ihr, wie du gesagt hast auch schon, dann hättest du auch die Ableitung für (x-1). Aber für das oben musst du sie noch beweisen oder habt ihr die Potenzregel für reelle Exponenten schon bewiesen?

edit: Du hast übrigens bei deiner Ableitung den Teil u(x)*v'(x) vergessen!

03.09.2004, 23:33

Croven

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wir hatten

quotientenregel,
produktregel
kettenregel

f(x)=g(x)+c
=> F´(x)=g'(x)

f(x)=g(x)*x
=>f'(x)=g(x)*c

f(x)=x^n
=> f´(x)=nx^(n-1)

hier der beweis:
----------------------
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{1/2} | ² (quadrieren) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}*\sqrt{x} = x^{1/2} * x^{1/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=x \end{eqnarray*}$

ich berufe mich bei diesem beweis auf die Potenzregel smile

smile

----------------------

"edit: Du hast übrigens bei deiner Ableitung den Teil u(x)*v'(x) vergessen!"

hab ich nich :P

dann Produktregel:
u'(x)*v(x)+u(x)*v´(x)

u(x)*v´(x) smile

smile

da stehts doch !

03.09.2004, 23:52

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Croven
und dann kommt das gleiche raus, nämlich:

$\begin{eqnarray*} 1/2*\sqrt{x} -1/(2*\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

Hier hast du es vergessen, das Ergebnis is nämlich falsch ...

Übrigens: Wo ist dein Beweis?? Was hast du denn damit bewiesen? Doch nur, dass x = x , wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
und das is ja grad die Def.

edit: Hab mal bei dir den latex-Code verbessert...

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04.09.2004, 00:23

Philipp-ER

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Interessante Beweisidee, über die ich noch nie nachgedacht habe.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x})'\cdot \sqrt{x}+\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x})'=1 \end{eqnarray*}$
und jetzt nur noch nach der Ableitung auflösen und man hat das Ergebnis.

04.09.2004, 00:26

Mathespezialschüler

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Ahhhhhh, ok, aber so wie es da steht, hab ich das nich verstanden, da steht ja nur, dass x=x LOL Hammer

LOL Hammer

Aber das so zu machen, is wirklich ne kreative Idee

04.09.2004, 00:28

Philipp-ER

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Keine Ahnung, ob er das so meinte, aber das ist die Idee, dir mir spontan angesichts der Gleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x \end{eqnarray*}$ kam.

Problem ist nur, dass halt die Diffbarkeit der Wurzelfunktion vorausgesetzt werden muss.

04.09.2004, 00:32

Croven

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hmm, ich sollte doch nur beweisen
das

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{1/2} \end{eqnarray*}$

is oder ?

hab meinen fehler gesehen, bei dem ergebnis...aber die Regel lautet doch:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^{3/2}-x^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=3/2*x^{1/2}-1/2*x^{-1/2} \end{eqnarray*}$

und wenn ich das mit dem Wurzel x = x^(1/2)
bewiesen habe, dann müsste doch der beweis klappen oder ?

weil der "Subtraktionsregel" kommt
$\begin{eqnarray*} f(x)=3/2*x^{1/2}-1/2*x^{-1/2} \end{eqnarray*}$

und bei der Produktregel :
$\begin{eqnarray*} f(x)=3/2*x^{1/2}-1/2*x^{-1/2} \end{eqnarray*}$

oder mach ich da noch immer nen fehler ?

04.09.2004, 00:35

Philipp-ER

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^{1/2} \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes als die Definition der Potenz mit gebrochenem Exponenten, da hast du nichts zu beweisen.
Du musst vielmehr zeigen, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^{1/2} \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot x^{-1/2} \end{eqnarray*}$ ist, denn wie kommst du darauf?

04.09.2004, 00:36

Mathespezialschüler

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Also, du sollst nicht beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ , so definiert man ja eigentlich erst die Potenzen für rationale Exponenten. Du sollst beweisen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x}\ \Rightarrow\ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Einen Beweis hat dir Philipp jetz eigentlich schon gegeben :rolleyes: :P

@Philipp
Das klappt sogar für alle Funktionen der Art

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[n]{x}\ \ n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

edit: Philipp war schneller

04.09.2004, 00:40

Philipp-ER

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Naja, das ist wirklich nur ein Pseudo-/Schulbeweis, so wie auch der für die Ableitung der Umkehrfunktion über f(f^{-1}(x))=x, da man halt die Differenzierbarkeit der entsprechenden Funktion voraussetzt, was aber sicher nicht auf der Hand liegt (außer, man argumentiert halt anschaulich, denn wenn das Schaubild von f brav, schön und glatt ist, so trifft dies wohl auch auf das von f^{-1} zu und das Schaubild von sqrt(x) ist sowieso so wunderschön, da muss die Funktion einfach diffbar sein).

04.09.2004, 00:44

Mathespezialschüler

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hmm, ja da haste Recht. Darf man denn eigentlich einfach so auf beiden Seiten differenzieren? Eigentlich schon, weils ja = ist :P
PS: Du hast doch gesagt (in dem Thread, wos auch um den ln-Grenzwert ging), du hättest einen strengen Beweis für das mit der Umkehrfunktion. Könntest du mir den mal per PN schicken? Gott

Gott

04.09.2004, 00:45

Croven

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so...

ich verstehe das problem...ich muss beweisen, dass das für gebrochene Exponenten gilt..
nur ich sehe nicht, wo mir phillip den beweis gegeben hat...

wie beweise ich, dass das also auch für gebrochen rationale Fkt. klappt smile

smile

ich weiß, ich geb nie ruhe und bin schwer von Kp, aber habt verständniss smile

smile

gruß Dennis !

04.09.2004, 00:47

Mathespezialschüler

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Wir lassen den Beweis von Philipp jetz auch mal weg. Wie du es beweist? So wie man Ableitung immer (fast immer) beweist, über den Differentialquotienten, es sei denn, du wüsstest schon wie die Ableitung der beiden Funktionen

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$

lauten, dann gibts auch nen einfacheren Beweis ..., obwohl der Beweis mit dem Differentialquotienten, wie ich grad seh, auch sehr einfach is.

04.09.2004, 00:52

Croven

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ich würde es ja probiere, nur mir sagen die 2 Funktionen nix...
ist das erste ne Exponential Fkt ? wegem dem ^x,

bzw was bedeutet das ln

04.09.2004, 00:56

Mathespezialschüler

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Ok, wenn dir die Funktionen nichts sagen, dann habt ihr auch noch keine Ableitungsregeln dazu...
Ja, das erste is ne Exponentialfunktion. e ist die eulersche Zahl und ungefähr 2,718281828... , is wie Pi auch eine irrationale Zahl und ln ist einfach der Logarithmus zu dieser Basis, aber das is jetzt egal, wir machens mit dem Differentialquotienten!!

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

und da setzt du erstmal die Funktion ein, dann sehen wir weiter, vielleicht siehst du auch schon, was du machen sollst...

04.09.2004, 01:10

Croven

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jawoll, ich glaube ich habs...

ich habs alles eingesetzt. dann mit der 3. Binomischen Formel gearbeitet und dann kommt das raus

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{(\sqrt{x+h})-\sqrt{x}}{h} \end{eqnarray*}$

dann binomische ergänzung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{((\sqrt{x+h})-\sqrt{x})* (\sqrt{x+h}+\sqrt{x}) }{h*(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \end{eqnarray*}$

am ende steht dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

und jetzt können wir H-> 0 laufen lassen...
und raus kommt
UNSERE ABLEITUNG !

04.09.2004, 01:14

Mathespezialschüler

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Sieht schon nich schlecht aus, aber du hast nen Vorzeichenfehler beim ersten latex-Code.

Es müsste so aussehen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \end{eqnarray*}$

Binomische Ergänzung is nich sogut. Um die Wurzeln wegzubekommen, musst du irgendwie beide Gleider quadriert bekommen. Überleg mal, du hast (a-b) und willst irgendwas mit a² und b², was fällt da ein? Das Wort binom... war schon sehr gut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Mit deinem Edit ist es richtig. Nur die herleitung noch nicht. Ich schreibs mal korrekt auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h})-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\lim_{h\to 0} \sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst du h im Zähler gegen 0 laufen lassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

, sehr gut gemacht! :]

04.09.2004, 01:16

Croven

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so, ich verbessere erstmal meinen fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

und dann überleg ich mir, was du von mir wieder willst und versuch das um zu setzen smile

smile

04.09.2004, 01:25

Mathespezialschüler

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Brauchst nicht mehr überlegen! Dein einziger fehler war, dass du binomische Ergänzung gesagt und 3. Binomische Formel gemeint hast und nen zweiten gabs auch noch: Du hast keine Klammern gesetzt im Zähler. Das ist das wichtigste, damit es hier nicht zu Missverständnissen kommt (, was hier im Board oft passiert).
Und außerdem musst du natürlich mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ erweitern und nicht - (Minuszeichen), weil du das ja auch noch ändern musst in der 2. Zeile, wenn dus in der ersten geändert hast... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber sonst sehr gut! :]

04.09.2004, 01:25

Croven

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ja, korrekte schreibweise..is schon richtig, aber ich hatte einfach kein Bock Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber das ist der korrekte Beweis und den werde ich auch vortragen !
ich liebe dieses Board Gott

Gott

04.09.2004, 01:27

Mathespezialschüler

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Nenn mal noch das Ergebnis! Damits auch alle, die das lesen, mitbekommen und ich kontrollieren kann, ob du richtig h gegen 0 laufen lässt :P

04.09.2004, 01:33

Croven

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gut, dass das nicht :P is Big Laugh

Big Laugh

hab jetzt die letzten zeichensetzungsfehler beseitigt, und das

K.O.R.R.E.K.T.E.- E.R.G.E.B.N.I.S
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²

04.09.2004, 01:39

Mathespezialschüler

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:]
Bis bald Wink

Wink

10.04.2008, 11:59

dna235

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Danke euch! Ich bin auch daran gescheitert! Gott

Gott

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