Nach Bogenlänge parametrisieren

27.04.2018, 16:40	Baum290	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Bogenlänge parametrisieren Hallo, könnte jemand überprüfen, ob ich die folgende Teilaufgabe korrekt gelöst habe. Seien $\begin{eqnarray} M_1= \{(a,x^2)\|x^2>0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_2= \{(x^1,x^2)\|(x^1-a)^2 +(x^2)^2 =r^2, x^2 >0\} \end{eqnarray}$ zwei Kurven, die mit der euklidischen Metrik $\begin{eqnarray} g= \frac{1}{(x^2)^2}( (dx^1)^2 + (dx^2)^2) \end{eqnarray}$ ausgestattet sind. Finde die Parametrisierung nach Bogenlänge $\begin{eqnarray} c(t) \end{eqnarray}$ für diese Kurven, mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} c(0)=(a,r), a,r\in\mathbb R, r>0 \end{eqnarray}$ Lsg. Die Kurve für $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ parameterisiert nach einem beliebigen Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} c(t) = (a,1) + (0,tx^2) \end{eqnarray}$ . Für die Bogenlänge erhält man $\begin{eqnarray} L_c(t) = \int_0^t \|\|\dot{c}(\tau)\|\| d\tau = \int_0^t (g(\dot{c}(\tau),\dot{c}(\tau)))^{1/2}d\tau=\int_0^t \sqrt{\frac{1}{(x^2)^2}\cdot (0+(x^2)^2) }d\tau = t \end{eqnarray}$ Hieraus folgt, dass die Kurve bereits nach der Bogenlänge parametrisiert ist. Ist das korrekt?
27.04.2018, 19:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Symbolik ist verwirrend. Gut, die hochgestellten Zahlen scheinen Indizes zu sein. Gleichzeitig verwendest du sie aber auch im Sinne von Exponenten. Die Symbolik für die Metrik verstehe ich nicht, mich irritiert vor allem der Vorfaktor. Kommt das aus der Differentialgeometrie? Aus der Physik? Wenn ich das richtig sehe, ist $\begin{align} M_1 \end{align}$ eine Halbgerade und $\begin{align} M_2 \end{align}$ ein Halbkreis. Deine Parametrisierung für die Halbgerade enthält noch die Koordinate $\begin{align} x^2 \end{align}$ . Das kann ja nicht sein. Zur besseren Lesbarkeit würde ich $\begin{align} (x,y) \end{align}$ statt $\begin{align} (x^1,x^2) \end{align}$ vorschlagen.

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