Lineare Unabhängigkeit und LGS

27.04.2018, 22:57	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit und LGS Meine Frage: Es seien Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gegeben. Zeigen Sie: Wenn die Vektoren $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -linear unabhängig sind, so sind sie auch $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ -linear unabhängig. Meine Ideen: Mein Problem ist schon das Verständnis der Aufgabe: Was bedeutet $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ - bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ -linear unabhängig? Dass die Koeffizienten für die Linearkombinationen reell oder komplex sind?
28.04.2018, 08:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das bedeutet es, also hast du die Aufgabe verstanden. Nun bietet sich ein Beweis durch Widerspruch an.
28.04.2018, 10:15	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich die komplexe linearkombination anschaut so kann man sie doch ich reelle zerlegen, oder? Mit $\begin{eqnarray} \lambda_i \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 * v_2 + ... + \lambda_n * v_n =0 <=> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Re(\lambda_1) * v_1 + ... + Re(\lambda_n) * v_n + i(Im(\lambda_1) v_1 + ... + Im(\lambda_n) * v_n) =0 => \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Re(\lambda_1) * v_1 + ... + Re(\lambda_n) * v_n = 0 \wedge Im(\lambda_1) * v_1 + ... + Im(\lambda_n) * v_n =0 \end{eqnarray}$ Sind die Vektoren nun $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -linear unabhängig, so haben die beiden obigen Linearkombinationen auch nur die triviale Lösung. Damit sind sie auch $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -linear unabhängig.
28.04.2018, 11:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich auch genau so auf meinem Blatt Papier stehen ( nur mit $\begin{eqnarray} z_k=a_k+i\cdot b_k \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \lambda_k=Re(\lambda_k)+iIm(\lambda_k) \end{eqnarray*}$ ) Widerspruchsbeweis war also gar nicht nötig, es geht ja ganz direkt.
28.04.2018, 13:55	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe geht noch weiter Sei $\begin{eqnarray} L_{\mathbb{R}}(A,0) = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \| Ax = 0\right\} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray} L_{\mathbb{C}}(A,0) = \left\{ x \in \mathbb{C}^n \| Ax = 0\right\} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ -Vektorraum. A ist eine Matrix mit reellen Einträgen. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} dim (L_{\mathbb{R}}(A,0)) = dim (L_{\mathbb{C}}(A,0)) \end{eqnarray}$ Meine Idee dazu wäre: Sei A eine (m x n)-Matrix. Ich bringe die Matrix A in strikte Zeilenstufenform. Dann hat man noch r Zeilen mit Einträgen. Daraus kann man direkt den Rang von A ablesen: $\begin{eqnarray} rg A = r \end{eqnarray}$ . Nach dem Rangsatz gilt $\begin{eqnarray} rg A = dim \mathbb{K}^n - dim (Ker A) \end{eqnarray}$ Der Rang von A ist durch die eindeutige Zeilenstufenform von A festgelegt. Die Dimension des Ausgangsraumes ist für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gleich. Somit ist die Dimension der Kerne ( $\begin{eqnarray} L_{\mathbb{R}}(A,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_{\mathbb{C}}(A,0) \end{eqnarray}$ ) auch gleich. Nämlich $\begin{eqnarray} dim(Ker A)=n-r \end{eqnarray}$
28.04.2018, 18:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zeilenstufenform erreicht man mit dem Gauß-Algorithmus. Der könnte aber bei Multiplikation von Zeilenvektoren mit komplexen Zahlen anders aussehen als bei Multiplikation von Zeilenvektoren mit reellen Zahlen. Woher wissen wir, dass der Rang r in beiden Fällen derselbe ist ? Besser scheint mir, diesen Teil der Aufgabe auf den ersten Teil zurückzuführen. Der Rang einer Matrix ist doch die Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren. Und diese hängt nach dem Bewiesenen bei reellen Matrizen nicht vom Körper $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ab. Danach geht es so weiter, wie du gesagt hast, nämlich mit dem Rangsatz.
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28.04.2018, 20:50	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt zum 1. Teil der Aufgabe und ist einfacher. Vielen Dank für deine Hilfe!

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