Mündliche Prüfung

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doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Mündliche Prüfung
Meine Frage:
Habe eine Mündliche Prüfung in der Linearen Algebra (1+2) in 2 Wochen.
Kann mir jemand Tipps geben, bzw. mir sagen was wichtig ist, auf was Ich Achten muss.
Die Prüfung geht 30min und Ich sollte nur das Skript lernen, der Professor meinte das Ziel ist, dass er merkt das Ich das Modul verstanden habe.
Was können die Zentralen Fragen bzw die Potentiellen fragen werden.
Würde mich freuen , wenn jeder Erfahrene Mathematiker oder jemand der so eine Prüfung hatte mir helfen kann.
Freundliche Grüße
Dokii



Meine Ideen:
Freue Mich auf eure Antworten
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Lieblingsfrage in Lineare Algebra ist "Was ist ein Vektor ?". (Wenn in der Antwort eines der Wörter "Pfeil", "Richtung", "Länge" auftaucht, bist du durchgefallen.)
Dann musst du die Definitionen für die Begriffe Vektorraum, UVR, linear unabhängig, linear abhängig, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis, Dimension, lineare Abbildung, Kern, Rang, Matrix, LGS, Linearform, Dualraum, Skalarprodukt, Norm, etc. pp. kennen und wissen, wie diese zusammenhängen. Skripten nochmal querlesen und Sätze auswendig lernen kann nicht schaden.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
(Wenn in der Antwort eines der Wörter "Pfeil", "Richtung", "Länge" auftaucht, bist du durchgefallen.)

Ein Vektor wird i.d.R. durch einen Pfeil dargestellt.
Bei einer physikalischen, vektoriellen Größe entspricht die Länge dem Betrag.
Vektoren haben nun mal eine Richtung.

Was ist daran falsch? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion mit ist ein Vektor im Vektorraum . Was ist seine Richtung, was seine Länge?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
.. Wenn in der Antwort eines der Wörter "Pfeil", "Richtung", "Länge" auftaucht, bist du durchgefallen.
Big Laugh

(Da bin ich schon mehr als 10x durchgefallen, dürfte hier gar nicht mehr posten)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ein Vektor wird i.d.R. durch einen Pfeil dargestellt.


Das ist eines der ersten Missverständnisse, das einem in einer lineare Algebra-Vorlesung für Mathematiker ausgetrieben wird.

Die korrekte Antwort ist: Ein Element eines Vektorraums. Natürlich wird dann die Anschlussfrage kommen, was ein Vektorraum ist.
 
 
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Vektor ist doch ein Objekt mit Elementen in einem Vektorraum mit denen man Addieren und skalar multiplizieren kann oder , d.h ja mann kann Vektoren in einer gerade oder Ebene verschieben richtig ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Leider durchgefallen. Polynome 7. Grades über dem endlichen Körper kann man nicht in einer "Ebene" "verschieben". Ein Vektor ist nicht ein Objekt mit Elementen in einem Vektorraum. Guppi12 hat die einzig zulässige und richtige Antwort gegeben: ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums. Wer eine der unendlich vielen falschen Antworten gibt, wird unweigerlich praxisnahe Fragen über universelle Eigenschaften von Tensorräumen beantworten müssen. Augenzwinkern

Man darf im Anschauungsraum über anschauliche Dinge sprechen, das sind aber ganz spezielle Beispiele, die im Schulunterricht ihre Berechtigung und Bedeutung haben (deshalb darf mYthos ohne Tadel darüber reden). In der linearen Algebra an der Universität darf man diese Anschauung benutzen um vor dem inneren Auge die allgemeinen Definitionen und Sätze zu beleuchten und die Intuition daran zu schärfen. Man darf aber auf gar keinen Fall die exemplarische Anschauung mit der viel größeren und wichtigeren Realität der linearen Algebra verwechseln.

@willyengland
In der Wellenmechanik nach Schrödinger sind Wellenfunktionen sicher keine Pfeile mit Länge und Richtung sondern Elemente eines Hilbertraums. Der Anschauungsraum und seine Geometrie genügt den Ansprüchen der modernen Physik schon lange nicht mehr. Schon in der speziellen Relativitätstheorie wird der euklidische Vektorraum durch gekrümmte Räume ersetzt, in denen die Metrik durch den metrischen Tensor des Minkowskiraumes eingeführt wird. (Ich sagte ja schon, wer nicht weiß was ein Vektor ist, den frage ich nach Tensoren. Big Laugh )
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank. smile

Jetzt ist es mir klar geworden smile

Eine kurze Frage hast du noch einige solcher Fragen, die man leicht falsch beantworten kann smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen ?
Welche Bedeutung haben die Normalformen (Diagonalmatrix, Jordan-Normalform) für lineare Abbildungen ?
Was haben lineare Gleichungssysteme mit Matrizen und Vektorräumen zu tun ?
Sind Vektorräume und ihre Dualräume kanonisch isomorph ?
Erläutern Sie den Zusammenhang von Skalarprodukt, Metrik, Norm und Geometrie.
Was ist multilineare Algebra ? Wozu sind Determinanten gut ? Was machen Tensorräume (UAE).
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche die fragen als Simulation direkt zu beantworten bitte sagen Sie ehrlich ob es reicht oder nicht und woran es liegt.
1.
Man kann lineare Abbildungen durch Basen ( nicht eine sondern endliche) als Matrizen
darstellen. Eine Basis ist ein Lin.unabhängiges Erzeugendensystem.
Sei F eine Lineare Abbildung, dann kann man mit einer Basis B eine Matrix A als
M_B(F) darstellen.

2. Erstmal eine Diagonalmatrix ist eine Spezielle Jordannormalform.
Hat F eine Basis bestehend aus Eigenvektoren von V , so ist F diagonalisierbar.
D.h das Charploy von F zerfällt in linearfaktoren und die Algebra.Vielfachh. und Geomet.Vielfachh ist gleich und V Zerfällt in eine Direktesumme der Eigenräume von F.
Die Diagonalmatrix ist eine Spezeielform der Jordannormalform, weil denn der längste Jordanblock vom Eigenwert t_i entspricht der algebraischen Vielfachheit von t_i, somit nimmt F diagonalgestalt.
Durch der Jordannormalform kann man das Minimalpolynom von F ablesen.
Denn der der längste JB zum EW t_i ist die Vielfachheit vom Mini.poly.
(Sei d_i die Länge des längsten JB folgt M(F)=((k-t_1)^d_1)*....*((k-t_j)^d_j)
Das Minimalpolynom ist das normierte Polynom kleinsten Grades von F mit Koeffizienten aus K.
Zusammenfassend hat F eine besondere Basis somit Sie eine Jordannormalform annimmt, um gewünschte Informationen abzulesen, die oben gennant werden.

3.
Man kann LGS als Matrix Darstellung schreiben um mit dem Gaus-Algorithmus, das LGS in Zeilenstufenform zu bringen, somit die Lösung zu finden. Die Lösung eine LGS ist ein UVR von V.

4.
Isomorph bedeutet das die Abbildung im VR bijektiv ist, somit eine Umkehrabbildung hat.
Nach der Dimensionsformel muss dann dimV=dimW gelten.
Da die Dimensionsformel für Lin.Abbildungen im VR und Lin.Abb. im Dualraum entsprechen gilt dimV=dimV^*=dimW^*=dimW
Somit isomorph.

5.

Wir betrachten Euklidische und Untäre VR.
Wir können einen Skalarprodukt durch eine Symmetrische Bilinearform darstellen oder durch eine Sesquilinearform.
Geometrische Bedeutungen :
Skalarprodukt : Kann man Winkel von Vektoren bestimmen.
Metrik: Kann man abstände von Vektoren bestimmen.
Norm: Kann man die Länge von Vektoren bestimmen.

6.
Multilineare Algebra hatten wir nicht (Würde aber gerne Wissen wozu man es braucht, kann auch sein das wir es anders bezeichnet haben)
Tensorräume hatten wir auch nicht (Kommt aber bestimmt gut an, wenn Ich es weiß, würde mich freuen, wenn Sie mir sagen können wo man es braucht.

Determinante:
Jede Lin.Abbildung hat eine Determinantenfunktion, diese muss Multilinear sein, d.h linear in jedem Argument und muss alternierend sein.
Determinanten sind dazu gut um Volumen aus aufgespannten Polyedar zu berechnen.
Jede Matrix hat eine Determinante 0 oder ≠0.
Ist die Determinante 0 so ist die Matrix nicht Invertierbar, da Sie nicht vollen Rang hat und nicht alle Vektoren Lin.unabh. sind.
Ist die Determinante ≠0 so ist die Matrix invertiert und hat vollen Rang und alle Vektoren sind Lin.unabh.
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Zeile 4 bei Punkt 2 :

Falsch formuliert merk ich grade :

Ist F Diagonalisierbar so hat das Minimalpolynom einfache NST d.h
d_1=......=d_j=1
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal sind wir hier im Forum alle per du, und ich habe dich nur in den Fragen gesiezt, weil das den möglichen Prüfungsfragen entsprechen sollte.

Ich weiß, dass meine Fragen ziemlich fies sind, aber genau dadurch kann ich sehr schnell deine Schwächen aufdecken. Dann kann man nur noch hoffen, dass dein Prüfer ebenso wohlwollend ist wie ich und dir durch gezielte Fragen weiterhilft. Jeder arme Prüfling hat Schwächen und es sollte nicht das Ziel des Prüfers sein, diese offenzulegen, vielmehr soll ein Prüfer feststellen, was der Kandidat alles weiß und ihm dann eine angemessene Bewertung zukommen lassen - nach meiner beschränkten Erfahrung ist das im allgemeinen auch so.

Mein Eindruck ist, dass du schon einiges weißt, dass dir aber wie erwartet nicht alle Zusammenhänge klar sein können. Ich versuche mal, ein paar Antworten zu formulieren - ohne Gewähr und erst recht ohne Anspruch auf Vollständigkeit.

1. Jeder endliche -Vektorraum hat eine Basis . Sei eine lineare Abbildung, eine Basis von und eine Basis von , d.h. . Dann gibt es genau eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten mit . In den Spalten von stehen die Komponenten der Bilder der Basisvektoren aus , dargestellt in der Basis . Der Hintereinanderausführung linearer Abbildungen entspricht dabei die Matrizenmultiplikation. (Wer sich bei diesem Thema wohlfühlt, kann über Basiswechsel sprechen: https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum) ) Bei allen Themen kann man sich an Wikipedia orientieren, denn dort wird oft kurz und präzise ein Überblick präsentiert.

2. Die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus ist genau dann diagonalisierbar, wenn der Vektorraum eine Basis aus Eigenvektoren hat, d.h. . Die Jordan-Normalform ist für nicht diagonalisierbare Matrizen die nächsteinfache Darstellung, sie benutzt -invariante Haupträume, das sind Untervektorräume von , die von "Hauptvektoren", also "verallgemeinerten Eigenvektoren" aufgespannt werden. ( https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform )

3. Koeffizientenmatrix eines LGS, Lösung des LGS durch Gauß-Jordan-Algorithmus. Lösungsmenge eines homogenen LGS ist ein UVR (Kern eines Homomorphismus), Lösungsmenge eines inhomogenen LGS ist eine Nebenklasse des Kerns des zugehörigen LGS, d.i. eine spezielle Lösung + UVR.

4. Der Dualraum eines -Vektorraums ist der Raum der Linearformen . Er hat dieselbe Dimension wie , und sind also isomorph, und für eine Basis von ist mit eine Basis des Dualraums. Der Bidualraum ist vermöge mit kanonisch isomorph zu , d.h. isomorph unabhängig von einer Basis. ( https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum )

5. Hier ist es besser, kurz über normierte Vektorräume ( https://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum ) und dann über euklidische und unitäre Vektorräume ( https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt ) zu sprechen.

6. Determinantenformen (alternierende, multilineare Abbildung von V nach K) und Determinanten scheinst du zu kennen.

7. Über Geschichte und Anwendungen von Tensoren findest du hier etwas: ( https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor ) . Meine Frage nach der universellen Abbildungseigenschaft (UAE) zielte auf moderne mathematische Aspekte der multilinearen Algebra ( https://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodukt ) . Wir hatten das anno dunnemals in LA II, vielleicht macht man das heute in Spezialvorlesungen - interessant und wichtig ist auf jeden Fall, aber für dich jetzt möglicherweise nicht prüfungsrelevant.

Fazit: In mündlichen Prüfungen ist man meistens gut dran, wenn man nicht nur Einzelheiten kennt sondern auch dem Prüfer verdeutlichen kann, dass man den großen Überblick hat. (Es gibt aber auch Korinthenkacker, die nur das hören wollen, was sie selbst gesagt haben. In diesem Fall muss man sich notgedrungen auf deren Niveau herunterbegeben. Augenzwinkern )
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für deine Hilfe smile

Gibt es auch Fragen, wo Professoren denken, was der Prüfling nicht beantworten kann?
Ich muss diese Prüfung unbedingt bestehen und jede Kleinigkeit hilft mir weiter.
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe noch Tipps in eine andere Richtung:

Die ersten Fragen einer mündlichen Prüfung sind meist relativ grundlegend, es könnte z.B. gefragt werden, was ein Vektorraum oder eine lineare Abbildung ist. Der Prüfer muss erst einmal einen Eindruck vom Prüfling bekommen. Wichtig bei diesen Fragen ist es, sie gut und vollständig zu beantworten. Man muss nicht alles auf das Blatt Papier schreiben (sonst könnte der Prüfer auch auf die Idee kommen, dass man Zeit schinden möchte), aber vieles sollte man trotzdem sagen und nicht darauf bestehen, dass es aus dem Kontext klar ist.

Beispiel:
Wenn du definieren sollst, was eine lineare Abbildung ist, dann reicht es nicht zu schreiben "Eine Abbildung heißt linear, falls für alle gilt, dass...", sondern du solltest am Besten auch noch die Trivialität erwähnen, dass Vektorräume über einem Körper sind. Meiner Ansicht nach braucht man das aber nur zu sagen und muss es nicht schreiben (das kommt aber auf den Prüfer an).

Meinen Prüfern waren solche Sachen immer sehr wichtig. Es zeigt, dass man die Definitionen nicht nur stur auswendig gelernt hat, sondern auch die Symbolik erklären und sie in einen größeren Kontext einordnen kann.
Fällt dir während des Schreibens auf, dass du einen Begriff vielleicht noch erklären solltest, kannst du sagen "Ich schreibe kurz fertig und erkläre dann, was das ist". Das zeigt dem Prüfer schon einmal, dass du es nicht vergessen hast.


Zu deiner letzten Frage:

Wenn die mündliche Prüfung nur aus einfachen Fragen besteht, ist das meistens eher kein gutes Zeichen. Es zeigt, dass der Prüfer einem nicht zutraut, auch kompliziertere Fragen zu beantworten, oder dass man sich zu lange bei den einfachen Fragen aufgehalten hat und keine Zeit mehr für schwere Fragen hatte.

Ich denke nicht, dass es Fragen gibt, bei denen der Professor denkt, dass sie "unbeantwortbar" sind. Natürlich könnte der Professor Fragen stellen, von denen er nicht glaubt, dass ein spezieller Prüfling sie in der Kürze der Zeit beantworten kann. Das kann mehrere Gründe haben - nur in den seltensten Fällen möchte der Professor einen Prüfling reinreiten. Mir wurden in Prüfungen oft enorm schwere Fragen gestellt, auf die ich unmöglich in dieser kurzen Zeit eine Antwort hätte finden können. Ein Professor hat dann mal gesagt, dass es ihm nur wichtig war zu sehen, welche Methoden ich intuitiv auf diese Fragestellung anwenden würde. Quasi, ob ich genug Erfahrung gesammelt habe um zu erkennen, was funktionieren könnte und was nicht.

Dementsprechend würde ich sagen, dass komplizierte Fragen vielleicht sogar eher ein gutes Zeichen sind.
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe smile
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich persönlich finde mündliche Prüfungen immer besser als schriftliche. Die meiner Meinung nach besten Ratschläge sind:

- arbeite das ganze Semester regelmäßig die VL nach, mache die Übungsblätter (vorzugsweiße in Gruppen)
- wirke in der Prüfung selbstsicher und antworte nicht nur wie ein Stehaufmännchen auf Fragen des Profs. während du ansonsten ruhig bist
- ich lenke zum Beispiel das Gespräch immer ganz unauffällig in eine Themenrichtung die mir zusagt, so kann man z.B. Elvis Fragen über universelle Tensorräume aus dem Weg gehen (beachte den Tipp aber mit Vorsicht! Unter meinen Kommilitonen bin ich anscheinend der Einzige der das kann und nicht gnadenlos auf die Fresse bekommt)

Ach und auch wichtig, bring Beispiele (vorallem welche die du selbst verstehst). Ich werd nie meine lineare Algebra 1 Prüfung vergessen. Da hat er mich nach einem Beispielen für lineare Abbildungen gefragt. Ich hab ihm eine eher sehr kompliziertere runtergerattert und dann fragte er ob ich ein einfaches Beispiel nennen kann, was ihm zeigt das ich das Thema verstanden hab.

Meine Antwort: ein Pfandflaschenautomat
Begründung: Man kann 10 Flaschen reinstecken, auf den Knopf drücken und bekommt für den Bon dann das selbe Geld an der Kasse wie wenn man nach jeder Flasche einzeln drückt und mit 10 Zetteln zur Kassiererin rennt... Der Prof. hat Tränen gelacht! Big Laugh
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass mit dem Pfandflaschenautomaten merk ich mir smile
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