Funktion unendlich differenzierbar

29.04.2018, 20:00	paktum	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion unendlich differenzierbar Guten Abend, es geht um folgendes, zeige, dass die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} si: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} si(x) :=\begin{cases}<br /> \frac{sinx}{x}, \ \ x\neq 0\\<br /> 1, \ \ x = 0\\<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ die folgende Rekursionsgleichung ist: $\begin{eqnarray} si^{(n)}(x) = \frac{1}{x}(sin^{(n)}x - nsi^{(n-1)}x) \end{eqnarray}$ Ich habe mit Induktion angefangen und habe für n = 1 gezeigt. Aber für n+1 hänge ich hier gerade fest: $\begin{eqnarray} si^{(n+1)}(x) =(\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{2k+1})^{(n+1)} \end{eqnarray}$ Könnte mir jemand helfen?
01.05.2018, 12:13	paktum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe gelöst aber es gibt eine Teilaufgabe, die ich damit Hilfe möchte: Zeigen Sie, dass si in 0 unendlich oft differenzierbar ist und bestimmen Sie $\begin{eqnarray} si^{(n)}(0) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ Idee: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2k+1} \end{eqnarray}$ Da sinus unendlich differenzierbar ist, ist die Reihe auch oben unendlich differenzierbar und somit auch für x = 0. Oder meine andere Idee ist: $\begin{eqnarray} si^{(n)}(x) = \frac{1}{x}(sin^{(n)}x - nsi^{(n-1)}x)= \frac{1}{x}((\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1})^{(n)} - n(\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2k+1})^{(n-1)} ) \end{eqnarray}$ Und mit Hilfe der Produktregel und der Tatsache, dass sinus für alle x konvergieren, konvergieren auch beide Reihen für x=0 und $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ ist unendlich differenzierbar und somit ist si unendlich differenzierbar an der Stelle 0. $\begin{eqnarray} si^{(n)}(0) \end{eqnarray}$ : Ich habe die erste und zweite Ableitungen betrachtet und natürlich ergeben sich 0/0 für alle Ableitungen und somit für alle n. Aber einen Wert zu bestimmen fehlt mir. Vielleicht ist es eine Fangfrage.
01.05.2018, 14:51	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest die Potenzreihe für $\begin{eqnarray} si(x) \end{eqnarray}$ mal korrekt hinschreiben. Bei dir fehlt der Faktor $\begin{eqnarray} (-1)^k \end{eqnarray}$ und das Fakultätzeichen im Nenner. Die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} si(x) \end{eqnarray}$ ist konvergent mit Konvergenzreihe $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Damit ist überall unendlich oft differenzierbar, also auch bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ . Die Ableitung erfolgt durch gliedweise Ableitung der Potenzreihe. Die Potenzreihe hat nur gerade Exponenten. Daher beginnt die die Potenzreihe jeder ungeraden Ableitung mit einem Summanden proportional zu $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Die ungeraden Ableitungen sind also alle Null. Die geraden Ableitungen beginnen mit einem konstanten Glied, das alternierende Vorzeichen hat. Dieses konstante Glied ergibt die gerade Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ . Sein Wert ist aus der Potenzreihe leicht zu bestimmen.
03.05.2018, 18:01	paktum	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Beitrag und Entschuldigung für die Fehler. Den ersten Teil habe ich geschafft aber der zweite ist noch nicht klar. Ich muss zeigen, was der Wert für $\begin{eqnarray} si^{(n)}(0) \end{eqnarray}$ für alle n ist. Aber es ist nicht so leicht denke ich. $\begin{eqnarray} si^n(x) = \frac{1}{x}((\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1})^{(n)} - n(\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{2k+1})^{(n-1)} ) \end{eqnarray}$ Dann ist das Problem der Bruch am Anfang. Muss ich L'Hospital und dann Induktion nutzen um den Wert herauszufinden oder sehe ich etwas nicht, das ziemlich offensichtlich ist?
03.05.2018, 19:04	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Vorschlag war, $\begin{eqnarray} si^{(n)}(0) \end{eqnarray}$ direkt aus der Potenzreihe von $\begin{eqnarray} si(x) \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Das geht einfach. Die Rekursionsformel wird nicht benötigt.

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