Operatornorm

30.04.2018, 09:22

Mathestudent500

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Operatornorm

Hallo,
es ist folgendes zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} ||T||=sup \frac{||Tx||}{||x||} \end{eqnarray*}$

Sei e>0 beliebig und $\begin{eqnarray*} M:=sup \frac{||Tx||}{||x||} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} M-e \leq \frac{||Tx||}{||x||} \leq ||T|| \end{eqnarray*}$
Warum gilt das $\begin{eqnarray*} \leq ||T|| \end{eqnarray*}$
?

30.04.2018, 09:44

klarsoweit

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RE: Operatornorm

Zitat:

Original von Mathestudent500
es ist folgendes zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} ||T||=sup \frac{||Tx||}{||x||} \end{eqnarray*}$

Ich dachte eher, das wäre eine Definition und frage mich, was denn nun zu zeigen ist.
Vielleicht hilft uns der originale Text der Aufgabe weiter. smile

smile

30.04.2018, 09:47

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Das ist aus der Vorlesung. Wir haben das aus der Defintion abgeleitet. Schau mal smile

smile

30.04.2018, 11:08

klarsoweit

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RE: Operatornorm
Aus der Definition von ||T|| kann man folgern, daß $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T|| \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$ ist für alle x aus X. (Dies wäre natürlich in einem separaten Schritt noch zu beweisen.)

Daraus folgt, daß dann $\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \leq ||T|| \end{eqnarray*}$ ist.

30.04.2018, 15:54

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Wie folgt das aus der Definition. Was ist da noch zu zeigen?
Tut mir leid für die späte Antwort unglücklich

unglücklich

30.04.2018, 16:04

klarsoweit

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RE: Operatornorm
Angenommen, es gilt nicht für alle x aus X die Ungleichung $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T|| \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein x_0 mit $\begin{eqnarray*} ||Tx_0|| > ||T|| \cdot ||x_0|| \end{eqnarray*}$ . Es gibt dann auch ein Epsilon > 0 mit $\begin{eqnarray*} ||Tx_0|| > (||T|| + \epsilon) \cdot ||x_0|| > ||T|| \cdot ||x_0|| \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist wegen ||T|| < ||T|| + epsilon das ||T|| + epsilon ein Element der Menge $\begin{eqnarray*} \{\alpha: ||Tx|| \leq \alpha \cdot ||x||, \forall x \in X\} \end{eqnarray*}$ . Führe das nun zu einem Widerspruch.

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30.04.2018, 16:15

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Warum ist das ||T||+e in der Menge enthalten?

30.04.2018, 16:21

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Warum ersetzt du auch das a aus der Ungleichung in der Mengr durch das ||T||. Das ||T|| soll doch genau die Menge sein,in der man gerade das kleinste a für die definierte Ungleichung sucht?

30.04.2018, 21:04

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Also jetzt verstehe ich es:
Das $\begin{eqnarray*} ||T|| \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T|| \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$ ist die kleinste Zahl a für die gilt: $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq a \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
Angenommen, es gilt nicht für alle x aus X die Ungleichung $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T|| \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein x_0 mit $\begin{eqnarray*} ||Tx_0|| > ||T|| \cdot ||x_0|| \end{eqnarray*}$ . Es gibt dann auch ein Epsilon > 0 mit $\begin{eqnarray*} ||Tx_0|| > (||T|| + \epsilon) \cdot ||x_0|| > ||T|| \cdot ||x_0|| \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist wegen ||T|| < ||T|| + epsilon das ||T|| + epsilon ein Element der Menge $\begin{eqnarray*} \{\alpha: ||Tx|| \leq \alpha \cdot ||x||, \forall x \in X\} \end{eqnarray*}$ . Führe das nun zu einem Widerspruch.

$\begin{eqnarray*} ||T|| \leq ||T|| + \epsilon \end{eqnarray*}$ liegt in der Menge, denn das ist ja die kleinste Zahl für die gilt:

$\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T|| \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$ , also auch dann $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T|| + \epsilon \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$
Da aber dies in der Menge liegt, kann nicht gelten $\begin{eqnarray*} ||Tx_0|| > (||T|| + \epsilon) \cdot ||x_0|| \end{eqnarray*}$

Dann folgt also, das folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \leq ||T|| \end{eqnarray*}$ , da M die kleinste obere Schranke ist.
Dann zum Beweis von $\begin{eqnarray*} M:=sup \frac{||Tx||}{||x||} \end{eqnarray*}$

D.h $\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \leq M \end{eqnarray*}$

D.h $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq M ||x|| \end{eqnarray*}$

D.h $\begin{eqnarray*} ||T|| \leq M \end{eqnarray*}$ , denn ||T|| ist ja die kleinste Zahl mit den Eigenschaften.

Andernfalls: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M- \epsilon \leq \frac{||Tx||}{||x||} \leq ||T|| \end{eqnarray*}$

Für e nach 0 ist dann: $\begin{eqnarray*} M\leq ||T|| \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das stimmt.
Was sagt die Operatornorm egtl aus?

01.05.2018, 14:25

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Stimmt das?

01.05.2018, 15:09

klarsoweit

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RE: Operatornorm

Zitat:

Original von Mathestudent500
also auch dann $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T|| + \epsilon \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$

Hier gehören Klammern hin: $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq (||T|| + \epsilon) \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathestudent500
Andernfalls: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M- \epsilon \leq \frac{||Tx||}{||x||} \leq ||T|| \end{eqnarray*}$

Hm, gilt jetzt diese Ungleichung für alle x und wenn ja, warum?

Ich würde so vorgehen: es ist $\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \leq \frac{||T|| \cdot ||x||}{||x||} = ||T|| \end{eqnarray*}$ . Somit ist auch $\begin{eqnarray*} M = sup \frac{||Tx||}{||x||} \leq = ||T|| \end{eqnarray*}$ .

01.05.2018, 15:22

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Danke dir smile

smile

Ich würde so vorgehen: es ist $\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \leq \frac{||T|| \cdot ||x||}{||x||} = ||T|| \end{eqnarray*}$ . Somit ist auch $\begin{eqnarray*} M = sup \frac{||Tx||}{||x||} \leq = ||T|| \end{eqnarray*}$ .[/quote]

Wie folgt die letzte Ungleichung:
Kommt da die Homogenität ins Spiel?

02.05.2018, 09:12

klarsoweit

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RE: Operatornorm
Hm, verstehe jetzt nicht, was du meinst. Wegen $\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \leq ||T|| \end{eqnarray*}$ ist ||T|| eine obere Schranke für $\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \end{eqnarray*}$ . Das Supremum von $\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \end{eqnarray*}$ ist also maximal ||T|| .

02.05.2018, 09:17

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Ne ich meine das. Wie schätzt du da ab. Sorry für die blöde Frage unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{||Tx||}{||x||} \leq \frac{||T|| \cdot ||x||}{||x||} = ||T|| \end{eqnarray*}$ .

02.05.2018, 09:24

klarsoweit

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RE: Operatornorm
Wegen diesem:

Zitat:

Original von klarsoweit
Aus der Definition von ||T|| kann man folgern, daß $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T|| \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$ ist für alle x aus X.

02.05.2018, 09:33

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Achso smile

smile

Dankeschön.
Was kann ich jetzt mit der Operatornorm egtl aussagen.
Sie gibt doch Auskunft darüber, wie die "Länge" eines Bildvektors x die Einheitskugel von x verändert.
Kann das sein verwirrt

verwirrt

02.05.2018, 10:16

klarsoweit

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RE: Operatornorm
Im Prinzip ja. Interessanter ist wohl, daß die Eigenschaften eines normierten Raumes auch für lineare Abbildungen gelten.

02.05.2018, 11:57

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Was meinst du damit?

02.05.2018, 13:10

klarsoweit

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RE: Operatornorm
Das ist jetzt eher ein Thema, das über den Thread hinausgeht geht und das Studium der einschlägigen Literatur erfordert.

Bei Aufgabe a fehlt noch ein Teil, nämlich daß $\begin{eqnarray*} ||T|| = sup_{||x|| \leq 1} ||Tx|| \end{eqnarray*}$ ist.

03.05.2018, 09:32

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Ok dann zu diesem Teil:

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} ||T|| = sup_{x \in X} \frac{||Tx||}{||x||}= sup_{x \in X} \frac{1}{||x|| } = sup_{x \in X} \frac{1}{||x|| } ||T( ||x||\frac{x}{||x||}||) = sup_{x \in X}T( \frac{x}{||x||}) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \frac{x}{||x||} \end{eqnarray*}$ ist ja ein normierter Vektor, also mit der Länge 1.

Sei $\begin{eqnarray*} y= \frac{x}{||x||} \end{eqnarray*}$

Dann ist: $\begin{eqnarray*} sup_{||x||=1} ||T(y)|| \leq sup_{||x||\leq} ||T(y)|| \end{eqnarray*}$
Das sup wird über eine größere Menge gebildet, deshalb das Ungleichheitszeichen.
Das ist dann die eine Richtung.
Die andere:

$\begin{eqnarray*} ||Tx||= \frac{||Tx||}{||x||} ||x|| \leq sup_{x \in X, x\ne 0} \frac{||Tx||}{||x||} ||x|| = ||T|| ||x|| \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq ||T||||x|| \forall x \in X \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} ||x||\leq 1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} ||Tx||\leq ||T|| \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} sup_{||x|| \leq 1} ||Tx|| \leq ||T|| \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das stimmt smile

smile

03.05.2018, 10:58

klarsoweit

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RE: Operatornorm

Zitat:

Original von Mathestudent500
Es gilt ja $\begin{eqnarray*} ||T|| = sup_{x \in X} \frac{||Tx||}{||x||}= sup_{x \in X} \frac{1}{||x|| } = sup_{x \in X} \frac{1}{||x|| } ||T( ||x||\frac{x}{||x||}||) = sup_{x \in X}T( \frac{x}{||x||}) \end{eqnarray*}$

Lassen wir mal überflüssige bzw. falsche Teile weg, dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} ||T|| = sup_{x \in X} \frac{||Tx||}{||x||} = sup_{x \in X} ||\frac{1}{||x|| } \cdot T(x)||) = sup_{x \in X} ||T( \frac{x}{||x||})|| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathestudent500
Dann ist: $\begin{eqnarray*} sup_{||x||=1} ||T(y)|| \leq sup_{||x||\leq} ||T(y)|| \end{eqnarray*}$

Eher so: $\begin{eqnarray*} sup_{x \in X} ||T( \frac{x}{||x||})|| = sup_{||y||=1} ||T(y)|| \leq sup_{||y|| \leq 1} ||T(y)|| \end{eqnarray*}$

03.05.2018, 11:06

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Da habe ich mich etwas vertan mit Latex unglücklich

unglücklich

Wie kommst du von der linken zur rechten Seite. Sowie ich es mir überlegt habe?
$\begin{eqnarray*} |sup_{x \in X} ||\frac{1}{||x|| } \cdot T(x)||) = sup_{x \in X} ||T( \frac{x}{||x||})|| \end{eqnarray*}$

03.05.2018, 11:34

klarsoweit

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RE: Operatornorm
Im Prinzip ja, aber etwas direkter: da T eine lineare Abbildung ist, darf man einen Faktor einfach ins Argument schieben. smile

smile

03.05.2018, 14:03

Mathestudent500

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RE: Operatornorm
Danke dir smile

smile

Man kann ja zeigen, dass der Raum der stetigen linearen Abbildungen mit dieser Operatornorm einen normierten Raum bilden.
Kann ich dann mit der Operatornorm derartige Abbildungen in Beziehung setzen?

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