Paradoxe Wahrscheinlichkeitswelt

30.04.2018, 13:56

Pippen

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Paradoxe Wahrscheinlichkeitswelt

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person bei einem fairen Münzwurf 100mal hintereinander 'Kopf' wirft ist P(100mal Kopf) = 0.5^100. Würden 2^100 Personen nun dieses Experiment durchführen und 100mal werfen, wie hoch wäre dann P(100mal Kopf)?

Überhaupt keine Ahnung, was man da macht. Erwartungswert und Binomialverteilung helfen nicht weiter. Hintergrund der Frage ist folgender: Einerseits dürfte P(100mal Kopf) bei 2^100 Versuchen doch recht wahrscheinlich sein, d.h. irgendeiner wird mit gewisser Wahrscheinlichkeit 100mal Kopf werfen, so dass das nicht überraschen dürfte, andererseits wäre derjenige, der sowas wirft ein reines Wunder, denn für ihn bleibt es ja bei der Miniwahrscheinlichkeit von 0.5^100. Er müßte eigentlich von einer göttlichen Fügung und Nicht-Zufall ausgehen, weil die Wahrscheinlichkeit P(~100mal Kopf) praktisch 1 wäre. Passt das zusammen?

30.04.2018, 14:17

10001000Nick1

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RE: Paradoxe Wahrscheinlichkeitswelt
Du willst also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens eine Person 100-mal Kopf wirft?

Das macht man am einfachsten über die Gegenwahrscheinlichkeit: Für eine einzelne Person ist, die Wahrscheinlichkeit, nicht 100-mal Kopf zu werfen, gleich $\begin{eqnarray*} 1-0.5^{100} \end{eqnarray*}$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass von $\begin{eqnarray*} 2^{100} \end{eqnarray*}$ Personen niemand 100-mal Kopf wirft, ist dann $\begin{eqnarray*} (1-0.5^{100})^{2^{100}}\approx 0.369 \end{eqnarray*}$ .
Damit ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer 100-mal Kopf wirft, $\begin{eqnarray*} 1-(1-0.5^{100})^{2^{100}}\approx 0.632 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pippen
Einerseits dürfte P(100mal Kopf) bei 2^100 Versuchen doch recht wahrscheinlich sein, d.h. irgendeiner wird mit gewisser Wahrscheinlichkeit 100mal Kopf werfen, so dass das nicht überraschen dürfte, andererseits wäre derjenige, der sowas wirft ein reines Wunder, denn für ihn bleibt es ja bei der Miniwahrscheinlichkeit von 0.5^100.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person 100-mal Kopf wirft (du beobachtest also von Anfang an nur diese eine Person), bleibt bei $\begin{eqnarray*} 0.5^{100} \end{eqnarray*}$ ; unabhängig von den anderen $\begin{eqnarray*} 2^{100}-1 \end{eqnarray*}$ Personen.
Oben ging es jedoch darum, ob irgendeine der $\begin{eqnarray*} 2^{100} \end{eqnarray*}$ Personen 100-mal Kopf wirft; und dafür ist die Wahrscheinlichkeit mit 63,2% relativ hoch.

30.04.2018, 14:27

Leopold

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RE: Paradoxe Wahrscheinlichkeitswelt

Zitat:

Original von Pippen
Würden 2^100 Personen nun dieses Experiment durchführen und 100mal werfen, wie hoch wäre dann P(100mal Kopf)?

Das ist zu oberflächlich formuliert. Was soll "100mal Kopf" bedeuten? Ich vermute, du meinst, daß mindestens eine der $\begin{align*} 2^{100} \end{align*}$ Personen 100mal Kopf wirft.

Für $\begin{align*} p \in \left( 0,1 \right) \end{align*}$ gilt, auch wenn $\begin{align*} p \approx 0 \end{align*}$ ist:

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - (1-p)^n \right) = 1 \end{align*}$

Ein noch so unwahrscheinlicher Ausgang eines Zufallsexperiments tritt, wenn man das Zufallsexperiment nur genügend häufig in unabhängigen Versuchen wiederholt, irgendwann einmal ein.

In deiner Aufgabe ist $\begin{align*} p = 2^{-100} \end{align*}$ . Allerdings ist $\begin{align*} n \end{align*}$ mit $\begin{align*} n = 2^{100} \end{align*}$ noch viel zu klein. Ich würde daher eher auf $\begin{align*} 1 - \operatorname{e}^{-1} \end{align*}$ (mit $\begin{align*} \operatorname{e} = \text{Eulersche Zahl} \end{align*}$ ) als gesuchter Wahrscheinlichkeit tippen.

30.04.2018, 14:43

Dopap

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und nächste Woche gibt es ziemlich sicher wieder Leute mit 6 Richtige im Lotto.
Nur eines: du wirst nicht dazu gehören. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2018, 15:48

G300418

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Zitat:

Ein noch so unwahrscheinlicher Ausgang eines Zufallsexperiments tritt, wenn man das Zufallsexperiment nur genügend häufig in unabhängigen Versuchen wiederholt, irgendwann einmal ein

Dazu zählt wohl auch der Urknall als Ergebnis von Quantenfluktuationen? smile

smile

01.05.2018, 12:17

Pippen

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RE: Paradoxe Wahrscheinlichkeitswelt

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Du willst also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens eine Person 100-mal Kopf wirft?

Das macht man am einfachsten über die Gegenwahrscheinlichkeit: Für eine einzelne Person ist, die Wahrscheinlichkeit, nicht 100-mal Kopf zu werfen, gleich $\begin{eqnarray*} 1-0.5^{100} \end{eqnarray*}$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass von $\begin{eqnarray*} 2^{100} \end{eqnarray*}$ Personen niemand 100-mal Kopf wirft, ist dann $\begin{eqnarray*} (1-0.5^{100})^{2^{100}}\approx 0.369 \end{eqnarray*}$ .
Damit ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer 100-mal Kopf wirft, $\begin{eqnarray*} 1-(1-0.5^{100})^{2^{100}}\approx 0.632 \end{eqnarray*}$ .

So meine ich es, danke. Geht also doch recht einfach. Der Erwartungswert 1 (= 2^100 * 0.5^100) hätte also eine Wahrscheinlichkeit von ca. 64%. Alle anderen Werte (3, 7, 0.3,...) hätten geringere Wahrscheinlichkeiten. Kann man das so sagen?

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person 100-mal Kopf wirft (du beobachtest also von Anfang an nur diese eine Person), bleibt bei $\begin{eqnarray*} 0.5^{100} \end{eqnarray*}$ ; unabhängig von den anderen $\begin{eqnarray*} 2^{100}-1 \end{eqnarray*}$ Personen.
Oben ging es jedoch darum, ob irgendeine der $\begin{eqnarray*} 2^{100} \end{eqnarray*}$ Personen 100-mal Kopf wirft; und dafür ist die Wahrscheinlichkeit mit 63,2% relativ hoch.

Und genau das finde ich paradox. Würde ich diese Person sein, dann dürfte ich eigentlich nicht 100mal Kopf werfen und wenn ich es täte, dann müßte ich eigentlich von einem Design und nicht mehr Zufall ausgehen, nicht? Auf der anderen Seite ist es sehr wahrscheinlich, dass bei dieser Konstellation einer 100mal Kopf wirft und da alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben ist es nicht mehr so verwundertlich, dass es zufällig mich trifft.

Das ist das Gleiche wie mit dem Leben. Mein Leben war einst extrem unwahrscheinlich und das deutet doch eigentlich auf eine Vorsehung hin. Auf der anderen Seite war es bei so vielen Kombinations- und Versuchsreihen nicht unwahrscheinlich, dass einmal einer wie ich auftritt und das wäre eben zufällig jetzt.

Muss man hier halt diese beiden Perspektiven trennen und gleichrangig hinnehmen? Also einseits sich wundern und fast schon an Gott glauben, dass so Unwahrscheinliches bei einer konkreten Person auftritt und andererseits nicht wundern, weil's irgendwann bei irgendwem auftritt und das zufällig halt diese Person ist?

Ich bin da sprachlos und weiß nicht so recht, wie damit umzugehen ist....

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01.05.2018, 12:41

IfindU

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RE: Paradoxe Wahrscheinlichkeitswelt
Und wäre die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nur Kopf bekommt, ziemlich klein wäre, könntest du sagen:
"Aber es gibt nur relativ wenige mögliche Kombinationen aus Kopf und Zahl die herauskommen können. Und dennoch tritt praktisch nie nur-Kopf ein. Was für ein Paradoxon."

Ich hab sowieso das Gefühl dich interessiert die Mathematik dahinter nicht. Du suchst nur einen Vorwand zum Philosophieren.

01.05.2018, 13:07

Dopap

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und zu Leben und Zufall gibt es reichlich Bücher...

Leben ist nicht Zufall in dem Sinne wie das manchmal ins Lächerliche gezogen wird:

Man lasse eine Horde von Affen lang genug auf Schreibmaschinen herumtippen und wartet ( nur lang genug ) bis irgendeiner ein Drama von Shakespeare getippt hat.

anscheinend ist die Entstehung von Leben nicht in diesem Sinne zufällig, sondern eher zwangsläufig - bei den entsprechenden Umständen.

Dass an die 40 Naturkonstanten derart fein aufeinander abgestimmt sind, dass das All und Leben möglich ist kann einen schon ins Grübeln bringen.
Gut, wenn es nicht so wäre dann könnte man es auch nicht beobachten ----> anthropologisches* Prinzip.

edit (*) anthropisches Prinzip

01.05.2018, 13:23

G010518

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Du meinst "anthropisches Prinzip"?

Zitat:

Dass an die 40 Naturkonstanten derart fein aufeinander abgestimmt sind, dass das All und Leben möglich ist kann einen schon ins Grübeln bringen.

Als nur eine Frage der Zeit! Wir können uns 14 Milliarden Jahre Evolution nicht vorstellen.
Nicht einmal die 2 Millionen Jahre der Anthropogenese.

Die Frage ist: Was heißt "abgestimmt". Gibt es einen Abstimmer?
Was sind "entsprechende Umstände"?

04.05.2018, 17:50

Pippen

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Zitat:

Original von IfindU
Ich hab sowieso das Gefühl dich interessiert die Mathematik dahinter nicht. Du suchst nur einen Vorwand zum Philosophieren.

Die Mathematik dahinter erscheint mir eben widersprüchlich. Dasselbe Ereignis aus verschiedenen Perspektiven lautet

1. P(ich werfe 100mal Kopf) = 0.5^100.
2. P(mind. einer wirft 100mal Kopf bei 2^100 Versuchen) = 0.632 (und dieser Eine bin halt gerade ich)

Nach 1. muss ich davon ausgehen, dass mein 100maliger Kopfwurf kein Zufall ist, weil die Wahrscheinlichkeit dafür so gering ist, nach 2. muss ich davon ausgehen, dass Zufall vorliegen kann, weil die Wahrscheinlichkeit nicht zu gering ist. Dasselbe Ereignis, aber unterschiedliche Konsequenzen? Ich kann also wählen? Wenn mir Nicht-Zufall (göttliche Fügung) eher gefällt, dann nehme ich einfach 1. her, sonst 2.? Oder - und deshalb frage ich - steckt da ein Denkfehler?

04.05.2018, 18:20

IfindU

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Wir können ja mal die anderen Personen ignorieren. Du führst $\begin{eqnarray*} 2^{100} > 10^{30} \end{eqnarray*}$ Versuche selbst durch. Jeder Versuch besteht daraus 100 Mal eine Münze zu werfen. Und in einem dieser über 1000000000000000000000000000 Versuche wirfst du nur Kopf. Und das ist göttliche Fügung? Dann ist es auch göttliche Fügung wenn ich mir jede Woche 1000 Lottoscheine kaufe und nach 10 Jahren einmal den Jackpot knacke.

Nach sehr vielen Experimenten treten auch die unwahrscheinlich ein. Deswegen sind es auch die unwahrscheinlichen Ereignisse, und nicht die unmöglichen...

Und die Mathematik hat nichts damit zu tun. Ich bin sicher dich wird auch folgendes widersprüchlich erscheinen.
1 Wassertropfen ist wenig, 2 Wassertropfen sind wenig. Also sind auch 2^100 Wassertropfen wenig. Auch wenn damit ein guter Teil des Universums ausgefüllt wäre.

04.05.2018, 20:07

Dopap

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Wenn eine Vase zu Boden stürzt, dann gibt es reichlich Scherben. Na und? soll ich jetzt herumlaufen und die Unwahrscheinlichkeit genau dieser Lage der Scherben begutachten?

05.05.2018, 19:50

Leopold

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Zitat:

Original von Pippen
Dasselbe Ereignis aus verschiedenen Perspektiven lautet

1. P(ich werfe 100mal Kopf) = 0.5^100.
2. P(mind. einer wirft 100mal Kopf bei 2^100 Versuchen) = 0.632 (und dieser Eine bin halt gerade ich)

Deine Prämisse stimmt nicht. Du betrachtest hier zwei verschiedene Ereignisse. Das mit den "verschiedenen Perspektiven" ist ein rhetorischer Trick, um darüber hinwegzutäuschen.

07.05.2018, 22:45

Pippen

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Pippen
Dasselbe Ereignis aus verschiedenen Perspektiven lautet

1. P(ich werfe 100mal Kopf) = 0.5^100.
2. P(mind. einer wirft 100mal Kopf bei 2^100 Versuchen) = 0.632 (und dieser Eine bin halt gerade ich)

Deine Prämisse stimmt nicht. Du betrachtest hier zwei verschiedene Ereignisse. Das mit den "verschiedenen Perspektiven" ist ein rhetorischer Trick, um darüber hinwegzutäuschen.

Ja, da hast du recht.

Können wir also resümieren: Es ist extrem unwahrscheinlich, dass eine bestimmte Person 100mal Kopf wirft (1.), es ist dagegen wahrscheinlich, dass irgendeine Person bei ganz vielen Versuchen 100mal Kopf wirft (2.)? Daraus würde nämlich für die große Frage der Einzigartigkeit des Lebens folgen (immer unter der Annahme, dass der Zufall die Welt regiert): Es wäre vor 14 Mrd. Jahren für mich extrem unwahrscheinlich gewesen, dass ich heute leben würde, aber es war schon damals wahrscheinlich, dass durch die unzähligen "Würfelversuche des Schicksals" irgendwer heute leben würde, der mir gleicht.

08.05.2018, 10:31

IfindU

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Die Versuche sind nicht einmal ähnlich... Ähnlicher wäre:
Wir starten 2^100 zufällige Universen. Dann stehen die Chancen "gut", dass du existierst.

Zitat:

aber es war schon damals wahrscheinlich, dass irgendwer heute leben würde, der mir gleicht.

Undefinierter Schwachsinn. Wer qualifiert als jemand wie du?

08.05.2018, 15:26

Leopold

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@ IfindU

Jetzt bist du so verärgert, daß dir schon die Buchstaben aus den Wörtern fallen und die Sätze entgleiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sehen wir es so: Es gibt ja auch noch den Glauben. Als Christ "weiß" ich, daß ich einzig bin, von Gott gewollt und von Gott geschaffen. Mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann ich mich jedoch nicht erklären.

Zitat:

Du suchst nur einen Vorwand zum Philosophieren.

Das trifft auf Pippen vermutlich zu.

08.05.2018, 16:36

Pippen

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Zitat:

Original von IfindU

Zitat:

aber es war schon damals wahrscheinlich, dass irgendwer heute leben würde, der mir gleicht.

Undefinierter Schwachsinn. Wer qualifiert als jemand wie du?

Das können wir erstmal offenlassen, denn das ist nicht der Punkt.

Vor 14 Mrd. Jahren war meine Existenz extrem unwahrscheinlich und das Gegenereignis, nämlich etwas anderes, extrem wahrscheinlich. Und doch trat der unwahrscheinliche Fall ein. Was folgt daraus? Nun genau das Gleiche, was aus unserem Münzwurfmodell folgt: 100mal Kopf kann nur auftreten, wenn a) die Münze manipuliert wurde und damit gar kein Zufall vorliegt, b) Zufall vorliegt, doch ganz viele Münzwurfserien durchlaufen werden oder c) Zufall vorliegt und man RIESENGLÜCK hat. Alle drei Alternativen erklären einen 100maligen Münzwurf nur mit Kopf, d.h. es bleibt offen und Glaubensfrage, was die Ursache ist, dass ein so unwahrscheinliches Ereignis doch eintritt. Analog wäre es mit meiner Existenz. Das scheint mir die vernünftigste (leider auch alles offen lassende) Schlußfolgerung.

@Leopold: Was ist gegen Philosophieren mit Hilfe mathematischer Werkzeuge einzuwenden?

08.05.2018, 20:35

Leopold

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Zitat:

Original von Pippen
@Leopold: Was ist gegen Philosophieren mit Hilfe mathematischer Werkzeuge einzuwenden?

Gar nichts.
Allerdings stellst du, wie ich finde, die Dinge auf den Kopf. Daß am nächsten Samstag beim Lotto die Zahlen 4 8 13 30 35 44 gezogen werden, ist extrem unwahrscheinlich, auch jede andere Kombination. Aber irgendeine wird gezogen werden. Und dann sagst du: "Daß gerade diese Kombination gezogen wurde, hätte doch niemand vorher gedacht. Aber sie ist gezogen worden." Aber diese Aussage ist wertlos, denn die Wahrscheinlichkeitsrechnung trifft keine Aussage über bereits Eingetretenes, über die Vergangenheit. Sie schätzt Chancen ab für die Zukunft, die sie allerdings aus Erfahrungen der Vergangenheit (relative Häufigkeit im realen Experiment) oder durch Symmetriebetrachtungen gewinnt.

11.05.2018, 03:09

Pippen

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Zitat:

Original von Leopold
Daß am nächsten Samstag beim Lotto die Zahlen 4 8 13 30 35 44 gezogen werden, ist extrem unwahrscheinlich, auch jede andere Kombination. Aber irgendeine wird gezogen werden. Und dann sagst du: "Daß gerade diese Kombination gezogen wurde, hätte doch niemand vorher gedacht. Aber sie ist gezogen worden."

Ja, das trifft genau mein Problem. Wie kann die o.g. Reihe gezogen werden, wenn das Gegenereignis praktisch gleich 1 ist? Wie kann - um dein Bsp. noch plastischer zu machen - aus einer Urne mit knapp 14 Mio. schwarzen Kugeln (nicht getippte Reihen) gerade die eine rote (getippte Reihe) gezogen werden? Das muss doch manipuliert sein. Würden nicht Statistiker auch so argumentieren, ich höre da immer, dass die schon bei unter 2.5% eine Zufallshypothese fallen lassen, d.h. danach müßte Lotto ja statistisch als Betrug erwiesen sein.

11.05.2018, 05:11

Dopap

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nochmals: die Tippreihe von Leopold ist sehr unwahrscheinlich, deshalb spielt er diese auch nicht. Lotto hat einen ganz miesen negativen Erwartungswert. Selbst die Gewinne sind nicht sicher. Reine Abzocke vergleichbar mit einer Spielbank die dir bei Zahl 17 nicht mal mickrige 10 Euro garantiert.

Dass irgendeine Lotto Reihe gezogen werden wird ist sehr sehr wahrscheinlich. Hinterher zu jammern gilt aber nicht.
"Ein nicht richtig definiertes Ereignis ist kein Ereignis mit echter Wkt."
Das sieht man leicht bei Horoskopen und Wahrsagerinnen.

11.05.2018, 14:52

Pippen

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Zur Vollständigkeit halber hier nochmal die YT-Videos, die mich aufgerüttelt haben:

https://www.youtube.com/watch?v=LOis2LxipoY
https://www.youtube.com/watch?v=lSutXXevSAQ

Echt Wahnsinn, wenn man darüber nachdenkt, so finde ich.

27.05.2018, 19:57

Carxing_

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RE: Paradoxe Wahrscheinlichkeitswelt
Da wir schon bei paradoxen Wahrscheinlichkeiten sind...
Eigentlich ein Wunder, dass es auch nur ein einziges DNS Molekül gibt mit Kettenlänge>20, an lange DNS Moleküle darf man gar nicht denken. :O
In der Physik gelten Ereignisse mit Wahrscheinlichkeiten ab ca. $\begin{eqnarray*} 10^{-20} \end{eqnarray*}$ als quasi unmöglich in unserer Welt.

27.05.2018, 21:49

Dopap

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das sind ja geradezu riesige Wahrscheinlichkeiten verglichen mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{10^{(10^{70})}} \end{eqnarray*}$

Das - so habe ich gelesen - soll die Wkt sein, dass ein menschlicher Körper spontan durch eine Mauer "tunnelt". Big Laugh

Big Laugh

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