Umkehrfunktion bilden

01.05.2018, 12:39	luk100	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion bilden Hallo zusammen, ich habe eine kurze Frage zu einer Aufgabe: Betrachte die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1}: (-1,1) \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray} f^{-1} (x)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \ \ \ \forall x \in (-1,1).<br /> \end{eqnarray}$ Gegeben: $\begin{eqnarray} f^{-1} (x)=\frac{1}{2} ln(\frac{1+x}{1-x}) \ \ \ \forall x \in (-1,1).<br /> \end{eqnarray}$ Ich kann $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ so umformen: $\begin{eqnarray} f^{-1} (x)=\frac{1}{2}(ln(1+x)-ln(1-x)) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} ln(1+x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ Aber wie kann ich genau ln(1-x) rechnen? Ich habe schon mit dem Taylorpolynom betrachtet aber mit dem Restglied bin ich nicht weitergekommen.
01.05.2018, 12:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion bilden Offenbar ist $\begin{eqnarray} \ln( 1 - x) = \ln( 1 +y ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y = -x \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} \ln ( 1 - x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} y^n/n \end{eqnarray}$ .
01.05.2018, 13:15	luk100	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja danke. Mit ein bisschen mitspielen habe ich das Ergebnis raus. Dankeschön und schöner Feiertag!

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