Homogene und p. DGL

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01.05.2018, 13:16	MRT	Auf diesen Beitrag antworten »
Homogene und p. DGL Guten Tag stecke bei einer Aufgabe fest: Man bestimme die allgemeinen Losungen der folgenden DGL $\begin{eqnarray} y'= -2ycos(x) + cos(x) \end{eqnarray}$ Geben Sie die Losungen der AWPe mit y(0) = 0 homogene Lösung: $\begin{eqnarray} y'= -2ycos(x) \end{eqnarray}$ beide Seiten integriert: $\begin{eqnarray} 1/2ln(y/y0) = -sin(x) +sin(x_0) \end{eqnarray*}$ Wie soll ich weiter vorgehen?
01.05.2018, 15:39	MRT	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y = y_0e^{-2sin(x)}e^{2sin(x_0)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(x) = y_0e^{-2sin(x)}e^{2sin(x_0)} \end{eqnarray}$ Wie leite ich das jetzt ab?
01.05.2018, 16:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du da ableiten? Schreibe zunächst anstatt $\begin{eqnarray} \sin x_0 \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \ln y = -2 \sin x + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_h = ... \end{eqnarray}$ Was kommt dann für $\begin{eqnarray} y_h \end{eqnarray}$ ? -------- Dann: Mit welcher Methode willst du jetzt zu einer partikulären Lösung kommen? mY+
01.05.2018, 16:44	MRT	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte Variation der Konstanten anwenden ,aber verstehe nicht wie du auf deine Gleichung kommst ?
01.05.2018, 17:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Variation der Konstanten ist naheliegend. Aber nicht immer führt diese zum Erfolg, so wie hier eben auch nicht. EDIT: Ich habe mich geirrt, die Variation der Konstanten funktioniert hier tatsächlich auch! $\begin{eqnarray} y_p = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ Meine Gleichung war jene, mit der du auf die Lösung der homogenen Gleichung kommst. Diese hast du ja noch nicht angegeben. $\begin{eqnarray} \frac{y'} y = -2 \cos x \end{eqnarray}$ Jetzt beidseits integrieren, das führt links auf einen Logarithmus, und dann delogarithmieren (e-Potenzieren) $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ln y = -2 \sin x + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = c_1 e^{-2 \sin x} \end{eqnarray}$ Verstehst du das jetzt? () Hier kann man sich alternativ auch noch etwas anderes einfallen lassen. Wenn du dir die Gleichung der Angabe genau ansiehst, welche Methode kommt noch in Frage? Kann man die Variablen trennen? mY+
01.05.2018, 17:33	MRT	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist dass ich bis zu meiner Lösung auch richtig liege mit meiner Musterlösung . Aber danach weiss ich nicht was die genau gemacht haben ? Die haben in der Musterlösung auch ein zweites sinus(x0) wegen den Grenzen . Daher wusste ich nicht wie sie dann genau den Ausdruck abgeleitet haben für Variation der Konstanten ?
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01.05.2018, 18:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Musterlösung wird mit dem bestimmten Integral gerechnet, was mathematisch exakt ist. Der Einfachheit halber kann man auch so wie bei mir rechnen, es ändert sich nichts essentiell. Dennoch musst du erstens verstehen, wie die Lösung der homogenen Gleichung berechnet wird (das habe ich dir schon vordem gezeigt) und zweitens, was genau bei der Variation der Konstanten geschieht. Dabei wird anstatt der Konstanten $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ die allgemeine Funktion $\begin{eqnarray} c(x) \end{eqnarray}$ eingeführt, somit $\begin{eqnarray} y_p = c(x) \cdot y_h(x) \end{eqnarray}$ mit deren Ableitung (nach der Produktregel) $\begin{eqnarray} y'_p = c'(x)y_h+c(x)y'_h \end{eqnarray}$ gesetzt. Beim Einsetzen in die DiffGl reduzieren sich die beiden Summanden $\begin{eqnarray} -2c(x)e^{-2 \sin x} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} c'(x) = \cos x \cdot e^{2 \sin x} \end{eqnarray}$ c(x) wird dann mittels gewöhnlicher Integration berechnet (Konstante = 0). ----------- Übrigens kannst du dir das ganze Brimborium - wie ebenfalls schon angedeutet - ersparen, wenn du mittels Trennung der Variablen rechnest: $\begin{eqnarray} y' = -2y \cos x + \cos x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = (-2y + 1) \cos x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {\dd y}{-2y + 1} = \cos x \dd x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
01.05.2018, 23:24	MRT	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y= c(x) e^{-2sin(x) } e^{2sin(x) } \end{eqnarray}$ Das kriege ich bei der ABleitung raus? Was machen die in der Musterlösung?
01.05.2018, 23:31	MRT	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrigiert: $\begin{eqnarray} y= c(x) e^{-2sin(x) } e^{2sin(x) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= c'(x) -4e^{-2sin(x) } e^{2sin(x_0) }sin(x)sin(x_0) \end{eqnarray}$ Das kriege ich bei der ABleitung raus? Was machen die in der Musterlösung?
02.05.2018, 16:42	MRT	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch da Mythos?
03.05.2018, 21:56	MRT	Auf diesen Beitrag antworten »
Jemand da ?

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