Erwartungswert und Varianz

01.05.2018, 16:33

Lauraundlisa1

Erwartungswert und Varianz

Hallo alle zusammen ich habe die folgenden Aufgaben.
Zu Aufgabe 1):

a) Die Zeichnungen habe ich gemacht.
b) Erwartungswerte habe ich auch berechnet: Hierzu eine Frage. Wenn wir im Erwartungswert die 3 haben bedeutet das, das man in den meisten fällen die 3 bekommt? Bzw. das die 3 am Wahrscheinlichsten ist? Oder bedeutet das, wenn man mehrmals hintereinander den Test durchführt und die Omega Werte sich jedes mal notiert und addiert ergibt dies im schnitt 3?
c) Varianzen berechnet.
d) da in c) die Varianz von der Zufallsvariable Z am größten ist, ist die abweichung vom Erwartungswert in diesem Fall am höchsten.

stimmt das so?

zu Aufgabe 2)

Zum Beweis a) Die Steiner Formel wurde in der Vorlesung bewiesen. Also es gilt:
$\begin{eqnarray*} V(X)=E((X-a)^2)-(E(X)-a)^2 \end{eqnarray*}$ mit a=0 folgt die Behauptung also
$\begin{eqnarray*} V(X)=E((X)^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ .

zu b) $\begin{eqnarray*} V(aX)= E( (ax-E(aX))^2) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E( (ax-aE(X))^2) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E( (a(x-E(X))^2) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^2E( (x-E(X))^2) \end{eqnarray*}$

zu c) $\begin{eqnarray*} V(X+b)=E( ( (x+b)-E(x+b) )^2 ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E( ( (x+b)-E(X) -b)^2 ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E( (x-E(X) )^2 ) \end{eqnarray*}$

zu d) $\begin{eqnarray*} V(X)=E( (x-E(X)^2 ) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} (x-E(X))^2 >=0 \end{eqnarray*}$ ist gilt wegen der Monotonie vom Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E( (x-E(X)^2 ) >= E(0) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E( (x-E(X)^2 )>=0 \end{eqnarray*}$

puh stimmt das alles so ?

01.05.2018, 18:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lauraundlisa1
b) Erwartungswerte habe ich auch berechnet: Hierzu eine Frage. Wenn wir im Erwartungswert die 3 haben bedeutet das, das man in den meisten fällen die 3 bekommt? Bzw. das die 3 am Wahrscheinlichsten ist? Oder bedeutet das, wenn man mehrmals hintereinander den Test durchführt und die Omega Werte sich jedes mal notiert und addiert ergibt dies im schnitt 3?

Nur letzteres, das ist dann das Gesetz der großen Zahlen. Der Erwartungswert muss nicht mal ein Wert sein, den die Zufallsgröße annehmen kann, siehe z.B. Erwartungswert 3.5 der Würfelaugenzahl.

Zitat:

Original von Lauraundlisa1
d) da in c) die Varianz von der Zufallsvariable Z am größten ist, ist die abweichung vom Erwartungswert in diesem Fall am höchsten.

Genau genommen die "mittlere quadratische Abweichung" vom Erwartungswert, aber im Grunde genommen Ok.

2) Alles korrekt. Es ist allerdings unverständlich, warum du bisweilen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schreibst, wo hier doch konsequent $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Ich hoffe mal, das ist nur ein Schreibfehler.

01.05.2018, 18:54

Lauraundlisa1

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Hallo Lieber Hal smile

achso okay vielen Dank.

In den Beweisen war das nur ein Fehler mit dem „x“ ich meine natürlich „X“.

Wegen der d) Im Falle das ich die Bewertung mit der Standardabweichung führe würde ich dann mittlere Abweichung schreiben.

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