Normalteiler

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FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler
Hallo, ich bräuchte mal wieder Hilfe bei einer Aufgabe:

a)
Sei eine endl. Gruppe, eine Untergruppe und . Ist Normalteiler? Beweis oder Gegenbeispiel.

b)
Sei eine endl. Gruppe, eine Untergruppe und . Ist Normalteiler? Beweis oder Gegenbeispiel.

Meine Ideen:

zu a)

ist nach Satz aus der Vorlesung die disjunkte Vereinigung der Links- Rechtsnebenklassen, von denen nur zwei gibt. Daher ist

für



Zu zeigen:

Ist so ist da eine Untergruppe und somit abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung ist:

Ist so ist da eine Untergruppe das Einselement in enthalten und damit gilt:



Somit ist und die Untergruppe nach Definition ein Normalteiler.

zu b) hier bräuchte ich Hilfe, finde nämlich kein gutes Gegenbeispiel... Danke smile
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalteiler
Hi.

(a) sieht ok aus.

Für dein Gegenbeispiel brauchst du eine nichtabelsche Gruppe, deren Ordnung durch 3 teilbar ist. Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist die symmetrische Gruppe , und ihre Ordnung ist durch 3 teilbar.

Das garantiert zwar noch nichts, aber ich denke, dass uns diese Gruppe schon ein Gegenbeispiel liefert. (Es sollte genügen eine Transposition und ein weiteres Element zu finden, das nicht mit ebenjener Transposition kommutiert. Dann nimmst du einfach als Untergruppe, und es folgt und .)
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