Potenzreihen und deren Konvergenzradius Beweis

02.05.2018, 18:27

Snexx_Math

Potenzreihen und deren Konvergenzradius Beweis

Hallo zusammen,

ich komme bei folgendem Beweis, der durchzuführen ist überhaupt nicht voran. Ich habe keine Idee wie ich das folgende zeigen will.

Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } c_n \cdot z^{n} \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Zeigen Sie: Wenn die Folge $\begin{eqnarray*} \Bigg ( \Big | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Big | \Bigg ) \end{eqnarray*}$ konvergiert oder bestimmt divergiert, gilt:

$\begin{eqnarray*} R = \lim_{n \to \infty } \Big | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Big | \end{eqnarray*}$

Ich bitte dringend um Hilfe !

LG

Snexx_Math

02.05.2018, 19:18

10001000Nick1

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Für $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe offensichtlich.

Für $\begin{eqnarray*} z\neq 0 \end{eqnarray*}$ kannst du das Quotientenkriterium benutzen.

03.05.2018, 18:29

Snexx_Math

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Also meine Idee sieht jetzt so aus:

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg | = l \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \Bigg | = \frac{1}{l} \end{eqnarray*}$

Nun betrachten wir 3 Fälle:

Fall 1: $\begin{eqnarray*} l \in \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg |= \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1} \cdot z^{n+1}}{c_n \cdot z{n}} \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1} \cdot z}{c_n} \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_n}\cdot z \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_n} \Bigg | \cdot |z| = \frac{1}{l} \cdot |z| \end{eqnarray*}$

Wenn das Quotientenkriterium Konvergenz liefert also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{l} \cdot |z| <1 \Leftrightarrow |z|<l \Rightarrow R\geq l \end{eqnarray*}$
Wenn das Quotientenkriterium Divergenz liefert also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{l} \cdot |z| \geq 1 \Leftrightarrow |z| > l \Rightarrow R= l \end{eqnarray*}$

Also folgt: $\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg | \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} l=+\infty / - \infty \ \ \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \Bigg | =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg |= \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1} \cdot z^{n+1}}{c_n \cdot z{n}} \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1} \cdot z}{c_n} \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_n}\cdot z \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_n} \Bigg | \cdot |z| = 0 \cdot |z| < 1 \forall z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Reihe konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} R=\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg | \end{eqnarray*}$

Fall 3: $\begin{eqnarray*} l=0 :\lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg | = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \Bigg | = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg |= \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1} \cdot z^{n+1}}{c_n \cdot z{n}} \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1} \cdot z}{c_n} \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_n}\cdot z \Bigg | = \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_n} \Bigg | \cdot |z| = \infty \cdot |z| >1 \forall z \in \mathbb C \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$
Für z=0 konvergiert die Reihe offentsichtlich. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow R=0 \Rightarrow R=\lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg | \end{eqnarray*}$

04.05.2018, 14:14

10001000Nick1

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Sieht gut aus. Freude

Bloß ein paar Anmerkungen:

Zitat:

Original von Snexx_Math
Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_n}{c_{n+1}} \Bigg | = l \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \Bigg | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \Bigg | = \frac{1}{l} \end{eqnarray*}$

Nur für $\begin{eqnarray*} l\in\mathbb R, l>0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} l=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} l=\infty \end{eqnarray*}$ ist ja die rechte Seite gar nicht definiert.

Zitat:

Original von Snexx_Math
Wenn das Quotientenkriterium Divergenz liefert also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{l} \cdot |z| \geq 1 \end{eqnarray*}$

Für "=1" macht das Quotientenkriterium keine Aussage (wahrscheinlich nur ein Tippfehler; danach stimmt es ja wieder).

Beim zweiten Fall ist nur $\begin{eqnarray*} l=\infty \end{eqnarray*}$ möglich (die Folge hat wegen der Beträge keine negativen Folgenglieder).

Und dann gehört bei allen drei Fällen am Anfang der Gleichungskette der erste Term $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ nicht dahin.

05.05.2018, 11:52

Snexx_Math

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Danke für die nette Antwort. smile

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