Lineare Optimierung mit Min und Max?

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mxvx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Zusammen,

ich habe u. A. folgende Aufgabe zu lösen, an welcher ich aber leider nicht weiterkomme:

Es soll ein Maschinenpark aus 2 Anlagetypen erstellt werden;
Es stehen maximal 400 Stellplätze zur Verfügung und es müssen mindestens 600Einheiten produziert werden.

Anlage 1: 2 Einheiten ; 2 Stellplätze ; 3000€ Kosten
Anlage 2: 3 Einheiten ; 1 Stellplatz ; 4000€ Kosten

Mein Problem liegt darin, dass ich einmal die Stellplätze maximieren und die Einheiten minimieren muss.
Meine Vorangehensweise war bis jetzt:

Nebenbedingungen erstellen:
2x + 3y >= 600 Einheiten
2x + 1y <= 400 Stellplätze

Zielfunktion:
DB = 3000x + 4000y

Ich glaube aber, ich bin komplett auf dem Holzweg; denn wenn ich diese Graphen einzeichne, kann ich es durch eine Isokostengerade zeichnerisch nicht lösen.

Weiß jemand wie man solch eine Aufgabe löst? Ich benötige keinen Lösungsweg, ein Hinweis, oder Stichworte welche man googlen\youtuben kann, wären für mich schon sehr hilfreich. Freude

Wenn ich nun:
2x+3y <= 600 Einheiten
2x+1y <= 400 Stellplätze einzeichne, habe ich einen Schnittpunkt beider Geraden an (150, 100)

Das in die Zielfunktion eingesetzt, würde bedeuten:

DB = 3000x + 4000y | 3000*150 + 4000*100 = 850.000€

Ergebnis hört sich für mich garnicht so verkehrt an; aber das "kleiner als"-Zeichen bei den "Einheiten" stimmt ja dann nicht, oder?

Vielen Dank für die Hilfe!


Willkommen im Matheboard!
Ich habe die beiden Beiträge zusammengefasst, damit der Antwortzähler wieder auf Null steht.
Viele Grüße
Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst alle Ecken des zulässigen Gebiets prüfen. Was ergibt sich bei der Ecke ?
mxvx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Das bedeutet geringere Kosten, bei gleichbleibender Produktionsmenge.

Wenn ich solch eine "Lineare Optimierung" also zeichnerisch aufstelle, ist nicht immer der äußerste Punkt, der "optimalste", sondern es müssen alle Eckpunkte durch Einsetzen der Werte in die Zielfunktion durchprobiert werden?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es zeichnerisch machst, musst du nicht alle Eckpunkte probieren. Du zeichnest zunächst eine Gerade für konstante Kosten, bei der die Kosten so niedrig sind, dass die Gerade ganz außerhalb des zulässigen Bereichs liegt. Du könnest bei deinem Beispiel die Gerade mit Kosten 0 wählen. Dann verschiebst du diese Gerade parallel, bis sie das erste mal eine Ecke des zulässigen Gebiets berührt. Diese Ecke ist die optimale Ecke. Hinsichtlich der Paralleverschiebung könnte man sie die äußerste Ecke nennen. In deinem Beispiel erreichst du so als erstes die Ecke (0,200).

Es kann auch passieren, dass bei der erstmaligen Berührung eine ganze Kante des zulässigen Gebiets berührt wird. Dann sind auf der Kante die Kosten konstant und jeder Punkt der Kante kann als optimaler Punkt gewählt werden.
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