Grenzwert einer Folge

03.05.2018, 12:17	Luca345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge Meine Frage: Hallo, bei meiner Frage handelt es sich mehr um ein Verständnisproblem als um eine Aufgabe. Wenn man in einem Quadrat mit der Seitenlänge 1, also auch der Fläsche 1, unendlich viele Quadrate einsetzt wobei jedes Quadrat zu seinem Vorgänger in der Fläche halbiert wird, ergibt sich für die Fläche aller unendlich vielen Quadrate ein endlicher Wert, nämlich 2. Ist insofern ja auch logisch wenn man etwas darüber nachdenkt. Aber wie kann man das mathematische nachweisen bzw. beweisen? Meine Ideen: Die Summe der Fläche berechnet sich ja folgendermaßen: $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8} +\frac{1}{16} ...... \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{2^{4}}....+\frac{1}{2^{k}} \end{eqnarray}$ Wenn man k gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laufen lässt hätte man null. Müsste der Grenzwert dann nicht 1+0 sein? Also ich weiß dass das Falsch ist, kann es mir aber nicht erklären, wie ich sonst rechnen muss. mfg LaTeX-Tags ergänzt. Steffen
03.05.2018, 12:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe geometrische Reihe. Es ist $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty q^k=q^0+q^1+q^2+q^3+...= \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ . Bei dir ist speziell $\begin{eqnarray} q=\frac 12 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...=\frac{1}{1-\frac 12}=2 \end{eqnarray}$ .
03.05.2018, 14:05	Luca34567876	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke ,ja so ists schlüssiger
03.05.2018, 21:22	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Folge Bezeichne deine gesuchte Summe mit S, also: $\begin{eqnarray} S\ =\ 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\ +\ ..... \end{eqnarray}$ Verdoppeln wir dies gliedweise, erhalten wir: $\begin{eqnarray} 2 S\ =\ 2 + 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\ +\ ..... \end{eqnarray}$ Nun bilden wir die Differenz: untere Zeile minus obere Zeile. Ergebnis: $\begin{eqnarray} 2S - S = (\ 2 + 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\ +\ .....) - (1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\ +\ .....) = 2 \end{eqnarray}$ Also kurz: *$\begin{eqnarray} S = 2 \end{eqnarray}$* (um zu begründen, dass dies wirklich korrekt ist, ist allerdings noch eine kleine Grenzwertüberlegung notwendig)

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