Arithmetisches Mittel und Standardabweichung mit Winkel

03.05.2018, 14:47

beecksche

Arithmetisches Mittel und Standardabweichung mit Winkel

Halli hallo,

Ich habe eine Reihe von Messwerten, bei den Messwerten handelt es sich um gemessene Winkel zwischen 0° und 360°. Aus diesen Daten möchte ich den Mittelwert und die Standardabweichung berechnen.

Theoretisch kein Problem, nur kann es sein, dass die Daten um den Winkel 0° schwanken. Bedeutet, die Werte liegen zum Beispiel zwischen 355° und 5 ° ( $\begin{eqnarray*} \Delta \phi = 10° \end{eqnarray*}$ ).

Wenn ich jetzt mit den bekannten Formeln den Mittelwert und Standardabweichung berechne, bekomme ich die falschen Ergebnisse.

Ich bin leider noch nicht auf eine geeignete Lösung gestossen.

Könnt ihr mir da weiterhelfen?

Besten Dank

03.05.2018, 14:59

willyengland

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Es geht also nur um die Abweichung von Null?
Dann rechne alle Winkel größer als 180° um in -(360°-X°).

03.05.2018, 15:10

beecksche

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Danke,
ich verstehe zwar den Hintergrund nicht wirklich, aber es scheint zu funktionieren Big Laugh

Vielen Dank!

EDIT:
Funktioniert leider doch nicht für alle Werte. Zb 180° +/- 10°

03.05.2018, 15:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
Dann rechne alle Winkel größer als 180° um in -(360°-X°).

Ich habe beecksche aber so verstanden, dass er nicht von vornherein weiß, wo sein Winkeldatensatz liegt. Wenn er statt bei 0° aber bei 180° liegt, dann hat er mit dieser deiner Transformation dasselbe Problem dann dort statt bei 0°. unglücklich

Nein, es bedarf einer dem Datensatz "angepassten" Transformation.

03.05.2018, 15:25

beecksche

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Richtig, habe deinen Beitrag erst nach meinem Editieren gesehen. Bei 180° funktioniert das leider nicht.

03.05.2018, 15:34

HAL 9000

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Wenn du tatsächlich Datensätze hast, die in jedem einzelnen Datensatz das Gesamtspektrum 0°..360° breit abdecken, dann scheint mir das Problem nicht lösbar zu sein - besser gesagt sollte man sich dann fragen, was dieser Mittelwert überhaupt aussagen soll...

Wenn die Winkel aber (wie man etwa bei Wiederholmessungen annehmen sollte) alle etwa in einer Halbebene bzgl. einer Gerade durch den Ursprung liegen (*), dann ist die Sache folgendermaßen angehbar:

1) Ordne die Winkel der Größe nach, d.h. $\begin{eqnarray*} 0^{\circ}\leq \varphi_1 \leq \ldots \leq \varphi_n < 360^{\circ} \end{eqnarray*}$

2) Ermittle $\begin{eqnarray*} M = \max_{k=1,\ldots,n} (\varphi_{k+1}-\varphi_k) \end{eqnarray*}$ und zugehörigen Index $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ , wo dieses Maximum erreicht wird. Dabei wird $\begin{eqnarray*} \varphi_{n+1}:=\varphi_1+360^{\circ} \end{eqnarray*}$ gesetzt.

3) Ersetze $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \varphi_k-360^{\circ} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=k_0+1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ (das ist die Modifikation des Vorschlags von willyengland). Ist $\begin{eqnarray*} k_0=n \end{eqnarray*}$ , so ist nichts zu tun.

4) Nun Mittelwert und Standardabweichung über den (ggfs. veränderten) Datensatz bilden.

Salopp kann man das Vorgehen so beschreiben: Man schaut im Vollkreis nach der größten Winkellücke und legt dort das Ende des Winkelbereichs hinein. Dementsprechend werden alle danach kommenden Winkel in den vorherigen Umlauf "zurückgedreht" (per Subtraktion $\begin{eqnarray*} 360^{\circ} \end{eqnarray*}$ ), so dass sich insgesamt eine minimale Spannweite für den Winkeldatensatz ergibt. Augenzwinkern

03.05.2018, 15:41

Steffen Bühler

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Wir hatten Winkelmittelung schon ein paarmal, zum Beispiel hier.

Alternativ zu HALs Vorgehen könnte man auch von allen vorliegenden Winkeln die Cosinus- und Sinuswerte bilden, daraus den mittleren Cosinus bzw. Sinus berechnen und aus diesen beiden Mittelwerten über atan2 den "mittleren" Winkel und dessen Standardabweichung bestimmen.

Viele Grüße
Steffen

03.05.2018, 15:42

HAL 9000

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Ja, das habe ich mir auch schon überlegt, sozusagen der Mittelwert der zugeordneten Punkte auf dem Einheitskreis.

Ist aber numerisch nicht dasselbe wie der Winkelmittelwert. Und hinsichtlich der Standardabweichung müsste man auch nochmal nachdenken.

03.05.2018, 15:51

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ist aber numerisch nicht dasselbe wie der Winkelmittelwert.

Das ist mir unklar. Wieso?

Zitat:

Original von HAL 9000
Und hinsichtlich der Standardabweichung müsste man auch nochmal nachdenken.

Ich würde die Standardabweichungen der Cosinus- und Sinuswerte in den atan2 stecken...

03.05.2018, 16:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das ist mir unklar. Wieso?

Ich bin etwas verwundert, dass ich dir da extra ein Gegenbeispiel präsentieren muss:

$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi_1 = 0, \varphi_2 = \frac{\pi}{6}, \varphi_3=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} \bar{\varphi} = \frac{2}{9}\pi \approx 0.6981 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=e^{i\varphi_1}+e^{i\varphi_2}+e^{i\varphi_3} = \frac{\sqrt{3}+2+3i}{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}{z} = \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{3}+2}\right)\approx 0.6771 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich würde die Standardabweichungen der Cosinus- und Sinuswerte in den atan2 stecken...

Das verstehe ich gleich gar nicht.

03.05.2018, 16:28

Steffen Bühler

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Ja, danke. Ich habe gerade ein noch einfacheres Beispiel gefunden:

$\begin{eqnarray*} n=4, \varphi_1 = \varphi_2 = \varphi_3 = 0, \varphi_4 = \frac {\pi}2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline { \varphi } = \frac {\pi}8 \approx 0,3927 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arctan \left( \frac 1 3 \right) \approx 0,3217 \end{eqnarray*}$

Bei den Standardabweichungen hatte ich gehofft, dass die Standardabweichungen von cos und sin als kartesische Werte im Polardiagramm auch direkt den Winkel darstellen, der eine Standardabweichung der Winkelverteilung ausmacht. Man muss aber wohl diese Streuungen erst jeweils auf die Mittelwerte addieren und damit in den arctan2 gehen.

03.05.2018, 16:36

HAL 9000

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Ja, was bei $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ noch hinhaut, muss bei $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ nicht mehr stimmen. Augenzwinkern

Hab mir übrigens gerade überlegt, dass bezogen auf die Einheitskreispunkte die "originale" Winkelmittelung sowas wie einem geometrischen Mittelwert $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z_1\cdot \ldots \cdot z_n} \end{eqnarray*}$ entspricht - allerdings mit dem Dilemma, dass man nicht so ohne weiteres weiß, welchen der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Werte für die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel man nehmen soll... womit der Satz von der Erhaltung der Schwierigkeit auch hier zuschlägt. Augenzwinkern

03.05.2018, 16:44

Steffen Bühler

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So weit waren wir im erwähnten Thread schon gekommen. Nachdem wir dann aber bei elliptischen Integralen landeten, und Huggy sein Veto eingelegt hatte, bin ich ausgestiegen... smile

03.05.2018, 16:47

HAL 9000

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Hatte ich vergessen, dass ich dort auch involviert war. Das ist das schöne dran, wenn man langsam so dement wird: Gibt ständig wieder neue Sachen zu entdecken... Aber es geht ja nicht nur mir so.

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