Abschätzung Lp und Bochner Normen

04.05.2018, 00:05

alina94

Abschätzung Lp und Bochner Normen

Hey,
ich frage mich gerade ob man aus $\begin{eqnarray*} f \in L^\infty(0,T;L^2(\Omega)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \in L^\infty ([0,T] \times \Omega) \end{eqnarray*}$ folgern kann, dass $\begin{eqnarray*} fg \in L^\infty (0,T;L^2(\Omega)) \end{eqnarray*}$ .
Es wäre ja

$\begin{eqnarray*} \sup_{t \in [0,T]}||g(t)||_{L^2(\Omega)} \leq c \sup_{t \in [0,T]}||g(t)||_{L^\infty(\Omega)} = c||g||_{L^\infty([0,T] \times \Omega)} < \infty \end{eqnarray*}$ ,

also auch $\begin{eqnarray*} g \in L^\infty(0,T;L^2(\Omega)) \end{eqnarray*}$ , und weil das Produkt integrierbarer Funktionen integrierbar ist eben auch $\begin{eqnarray*} fg \end{eqnarray*}$ . Wäre super wenn jemand weiß ob das stimmt smile

04.05.2018, 11:04

IfindU

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RE: Abschätzung Lp und Bochner Normen
Es stimmt dank Fubini und Hölder. Beachte, dass aus $\begin{eqnarray*} f, g \in L^\infty ( 0,T; L^2(\Omega)) \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} fg \in L^\infty( 0, T; L^1(\Omega)) \end{eqnarray*}$ folgen wuerde!

Zum Start:
$\begin{eqnarray*} \| fg\|_{L^\infty L^2} = esssup_{t\in [0,T]} \|f(t) g(t) \|_{L^2(\Omega)} \leq \ldots \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kann man punktweise Hölder anwenden.

04.05.2018, 23:42

alina94

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RE: Abschätzung Lp und Bochner Normen

Zitat:

Original von IfindU
Es stimmt dank Fubini und Hölder. Beachte, dass aus $\begin{eqnarray*} f, g \in L^\infty ( 0,T; L^2(\Omega)) \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} fg \in L^\infty( 0, T; L^1(\Omega)) \end{eqnarray*}$ folgen wuerde!

Zum Start:
$\begin{eqnarray*} \| fg\|_{L^\infty L^2} = esssup_{t\in [0,T]} \|f(t) g(t) \|_{L^2(\Omega)} \leq \ldots \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kann man punktweise Hölder anwenden.

Vielen Dank!
Das wäre dann
$\begin{eqnarray*} \| fg\|_{L^\infty L^2} = esssup_{t\in [0,T]} \|f(t) g(t) \|_{L^2(\Omega)} = esssup_{t\in [0,T]}||(f(t)g(t))^2||_{L^1(\Omega)} \leq esssup_{t\in [0,T]} ||f(t)||_{L^2(\Omega)}||(g(t))^2||_{L^\infty(\Omega)} < \infty \end{eqnarray*}$ ,

richtig? Aber könntest du mir vielleicht noch sagen, woran mein obiges Argument scheitert?
Mit $\begin{eqnarray*} f, g \in L^\infty ( 0,T; L^2(\Omega)) \end{eqnarray*}$ hätte man ja

$\begin{eqnarray*} \| fg\|_{L^\infty L^2} = esssup_{t\in [0,T]} \left( \int_\Omega |f(t)|^2|g(t)|^2dx \right) ^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} |f(t)|^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |g(t)|^2 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung integrierbar wären und demnach auch ihr Produkt, das Integral insgesamt also endlich. Ich fürchte ich übersehe hier etwas ganz Simples.

04.05.2018, 23:52

Guppi12

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Dein Argument scheitert daran, dass das Produkt integrierbarer Funktionen nicht integrierbar sein muss.

05.05.2018, 13:15

alina94

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Zitat:

Original von Guppi12
Dein Argument scheitert daran, dass das Produkt integrierbarer Funktionen nicht integrierbar sein muss.

Oh hoppla, so kann man sich täuschen. Danke

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