A=B², Matrix B symm pos definit

04.05.2018, 13:17	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
A=B², Matrix B symm pos definit Meine Frage: Was sind eure Ideen ? Meine Ideen: Sei A Element M(n,n, \|R) symmetrisch und Positiv Definit. Dann hat A eine Basis bestehend aus Eigenvektoren. Diese bilden eine Orthonormalbasis. Also gibt es ein S Element Gl(n,K) mit D=S^-1 * A * S da aber A symmetrisch ist gilt D=S^T * A * S Da A positiv Defizit ist gilt ja die Darstellung. x^T * A * x. Weiter weiß Ich nicht :/
05.05.2018, 00:58	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, da A eine SPD-Matrix ist, gilt $\begin{eqnarray} A=SDS^{-1}=SDS^\top \end{eqnarray}$ , wobei D lauter positive Diagonalelemente hat. Also kannst du die "Wurzel aus D" definieren, indem du alle Diagonalelemente 'wurzelst'. Nennen wir sie E, damit gilt dann D=E², also $\begin{eqnarray} A=SE^2S^{-1} \end{eqnarray}$ . Weißt du evtl., wie es dann weitergeht für den Existenzbeweis? Für die Eindeutigkeit kann man sich zB überlegen, dass jede Matrix X mit X²=D erfüllt, dass $\begin{eqnarray} (S^{-1}XS)^2 = A \end{eqnarray}$ ; und dass jede Matrix Y mit Y²=A umgekehrt erfüllt, dass $\begin{eqnarray} (SYS^{-1})^2=D \end{eqnarray}$ . Also entsprechen die möglichen Wurzeln aus D und diejenigen von A einander, eine 1-zu-1-Korrespondenz, auch Bijektion genannt Und über die möglichen symmetrisch positiv definiten Wurzeln von D kannst du etwas herausfinden. Es könnte noch etwas Arbeit bedeuten zu zeigen, dass hier wirklich nur Diagonalmatrizen in Betracht kommen. Man kann damit anfangen, dass positiv definite Matrizen X wegen $\begin{eqnarray} 0<e_i^\top Xe_i = x_{ii} \end{eqnarray}$ immer positive Diagonalelemente haben müssen. Dann könnte man die Symmetrie ins Spiel bringen und den Eintrag $\begin{eqnarray} y_{ij}=\sum_{k=1}^nx_{ik}x_{kj}=\sum_{k=1}^nx_{ki}x_{kj} \end{eqnarray}$ der Matrix $\begin{eqnarray} Y:=X^2=X^\top X \end{eqnarray}$ betrachten und zB aus der Annahme, dass er ungleich Null sei, versuchen einen Widerspruch zu folgern. LG sibelius84

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