Äquivalenz von Matrizen /lineare Abbildung

04.05.2018, 13:43	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Matrizen /lineare Abbildung Hallo liebe Leute, ich benötige mal eure Schwarmintelligenz, ich stehe vor folgender Frage: Angenommen ich habe folgende Informationen $\begin{eqnarray} A,B\in\mathbb{R}^{n\times k} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Rang(A)=Rang(B)=k<n \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} A_i ~und~ B_i (i=1,\dots,n) \end{eqnarray}$ die Zeilen von A bzw. B Meine Behauptung ist: Es gibt eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^k~,~sodass~~ F(A_i)=B_i ~\forall~i=1,\dots,n \end{eqnarray}$ . (für die ersten k ist das ja klar, aber was ist mit den übrigen n-k Zeilen?) Kann man dies irgendwie simpel beweisen/widerlegen? Hilft eventuell die Äquivalenz der Matrizen? Beste Grüße euer TrolldiRola
04.05.2018, 13:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Matrizen /lineare Abbildung Ist natürlich falsch. Die ersten beiden Zeilen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ können gleich sein. Wenn die Zeilen von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nicht zufällig auch gleich sind, kann das nicht funktionieren. Und selbst wenn man erst die linear unabhängigen nach oben schaufelt, hat man keinerlei Informationen über die anderen.
04.05.2018, 13:58	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok kann man den angeben, wann dies funktioniert? Meine Überlegung gerade: Sie in oben genannten Setting $\begin{eqnarray} n=k+1 \end{eqnarray}$ und o.B.d.A. sei $\begin{eqnarray} A_n=\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_iA_i \end{eqnarray}$ . Da der Rank(A)=Rang(B)=k ist, gilt $\begin{eqnarray} f(A_i)=B_i \forall i=1,\dots,k \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} f(A_n)=f\left(\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_iA_i\right)=\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_if(A_i)=\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i B_i \end{eqnarray}$ Woher weiß ich hier, dass dies wieder $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ ist? Bzw. was genügt dazu?
04.05.2018, 14:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar nicht. Entweder es ist so, und es gibt die Abbildung. Oder es gilt eben nicht und es gibt diese lineare Abbildung nicht.
04.05.2018, 14:04	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann schaue ich wodurch ich $\begin{eqnarray} B_n=\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_iB_i \end{eqnarray}$ gewährleisten kann. Ich habe noch ein paar mehr Infos und baue daraus mal was.

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