Konvergenzradius berechnen

04.05.2018, 13:51

Snexx_Math

Konvergenzradius berechnen

Hallo zusammen,

ich soll den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} \cdot z^{n^2} \end{eqnarray*}$

Allerdings tue ich mich sehr schwer , da ich jetzt nicht einfach $\begin{eqnarray*} c_n = \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ wählen kann, da nicht $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} z^{n^2} \end{eqnarray*}$ dort steht.

Wie berechne ich nun den Radius ?

Anmerkung: Ein Tutor hatte sich bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } 2^n z^{2n} \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konstruiert, mit $\begin{eqnarray*} a_n=2^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray*}$
, wenn n gerade und $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ , wenn n ungerade. Und dann $\begin{eqnarray*} c_n = a_n \end{eqnarray*}$ genommen und den $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow\infty}c_n \end{eqnarray*}$ berechnet.

Muss ich das hier auch machen ? oder wie rechne ich den Radius nun aus ?

Danke für jede Hilfe.

LG

Snexx_Math

04.05.2018, 13:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius berechnen
Ich würde es mit dem Quotientenkriterium versuchen. smile

04.05.2018, 14:06

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius berechnen
Ok danke smile

ich versuchs mal

04.05.2018, 15:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius berechnen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Anmerkung: Ein Tutor hatte sich bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } 2^n z^{2n} \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konstruiert, mit $\begin{eqnarray*} a_n=2^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray*}$ , wenn n gerade und $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ , wenn n ungerade. Und dann $\begin{eqnarray*} c_n = a_n \end{eqnarray*}$ genommen und den $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow\infty}c_n \end{eqnarray*}$ berechnet.

Na, das wird wohl eher $\begin{eqnarray*} c_n = \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ gewesen sein...

Und ja, man kann so ähnlich auch hier bei deiner Reihe vorgehen. Aber das normale Quotientenkriterium für Reihen ist hier die Methode, die Anfängern eher einleuchtet und weniger Kopfschmerzen bereitet. Augenzwinkern

07.05.2018, 08:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius berechnen

Zitat:

Original von HAL 9000
Na, das wird wohl eher $\begin{eqnarray*} c_n = \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ gewesen sein...

Nee, das glaube ich nicht. Der Tutor wollte aus einer Potenzreihe, wo nur die geraden Exponenten vorkommen, eine Reihe machen, die auch die ungeraden Exponenten enthält, indem er für die Koeffizienten eine Folge erfindet, die für die ungeraden Exponenten gleich Null ist. smile

07.05.2018, 09:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit

Ja, das war in dem Satz vorher

Zitat:

Original von Snexx_Math
eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konstruiert, mit $\begin{eqnarray*} a_n=2^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray*}$ , wenn n gerade und $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ , wenn n ungerade.

ja hinlänglich erklärt worden. Ich rede aber über das nachfolgende

Zitat:

Original von Snexx_Math
und den $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow\infty}c_n \end{eqnarray*}$ berechnet.

und da bleibe ich dabei: Es wird um $\begin{eqnarray*} c_n = \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ gegangen sein! smile

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzradius berechnen

Verwandte Themen