Familie von Borelmengen bestimmen

04.05.2018, 14:17	Erebos	Auf diesen Beitrag antworten »
Familie von Borelmengen bestimmen Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} A\in B(\mathbb R ) \end{eqnarray}$ eine Borelmenge, die die folgende Eigenschaft erfüllt: $\begin{eqnarray} (A+\left\{ n\right\} )\cap A=\emptyset \ \forall n\in \mathbb{Z}\setminus\left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ . i) Zeige, dass es eine Familie von Borelmengen $\begin{eqnarray} (A_{n})_{n\in \mathbb{Z}}\subset [0,1) \end{eqnarray}$ gibt, so dass: $\begin{eqnarray} A_{n}\cap A_{m}=\emptyset, n \neq m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A = \bigcup _{n\in \mathbb{Z}}(A_{n}+\left\{ n\right\}) \end{eqnarray}$ gilt. ii) Folgere, dass $\begin{eqnarray} \mu^{}(A)\leq 1 \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} \mu^{} \end{eqnarray}$ das äußere Lebesguesche Maß. Meine Ideen: i) Ich habe überlegt, dass wenn wir das Intervall [0,1) in eine disjunkte Vereinigung von Intervallen zerlegen und diese Teilintervalle um ganze Zahlen verschieben, müsste die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} (A+\left\{ n\right\} )\cap A=\emptyset \ \forall n\in \mathbb{Z}\setminus\left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ immer erfüllt sein. D.h. die Menge A ist immer von der Form, dass Sie ein halboffenes Intervall von max. Länge ist, welches wir zerlegen und dann verschieben können. Klingt etwas wirr, aber mir fällt es gerade schwer, diese Idee ordentlich auszuformulieren. Jedenfalls muss man die A_n so konstruieren, dass sie eine Überdeckung des Intervalls [0,1) ergeben und dabei disjunkt sind. Mehr hab ich nicht. ii) Wie ich bereits sagte kann A nur die oberste Eigenschaft erfüllen, wenn $\begin{eqnarray} \mu^{}(A)\leq 1 \end{eqnarray}$ gilt. Ich dachte, dass man diese Ungleichung vielleicht aus der Bewegungsinvarianz und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray*}$ -Subadditivität folgern kann, da wir A ja aus dem Intervall [0,1) konstruieren.
04.05.2018, 15:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ich das sehe, kann man die in i) erwähnten $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ direkt (!) angeben: $\begin{eqnarray} A_n := \left(A + \{-n\}\right) \cap [0,1) \end{eqnarray}$ . P.S.: Ich gehe davon aus, dass du mit $\begin{eqnarray} A+B \end{eqnarray}$ die Minkowski-Summe meinst, sollte wohl besser erwähnt werden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »