Salzwassertank DGL Reloaded

05.05.2018, 08:32

Marius_21

Salzwassertank DGL Reloaded

Meine Frage:
Servus Leute,
meine Frage dreht sich um das aufstellen einer Differentialgleichung für einen Salzwassertank in dem eine gewisse Salzkonzentration vorherrscht und der einen Zu bzw Abfluss besitzt. In meinem Fall liegt eine Tank mit 500L Füllmenge und 20kg Salz vor, der Zufluss beträgt 20L pro Minute mit je 2kg Salz und der Abfluss 10L pro Minute der gut durchmixten Flüssigkeit. Wie obengenannt soll ich dazu jetzt eine DGL aufstellen, nur hab ich keine Ahnung wie.
Für Lösungsvorschläge oder Hilfestellungen bin ich sehr dankbar!

Meine Ideen:
Also die Änderung der Salzkoknzentration wird nicht 0 werden, da ja die Füllmenge des Tanks steigt, es wird also zu keinem Konzentrationsausgleich kommen. Die Konz.änderung wird höchsten irgendwann nur noch sehr sehr klein werden, oder?

05.05.2018, 16:09

Dopap

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Ich nehme mal an, dass das Salz als reine Konzentration zugeführt wird, d.h. 20l Wasser und 2kg Salz ergeben 20l Salzlösung zu 10%. Die Volumenänderung ist dann

$\begin{eqnarray*} \dd V=(20-10) \dd t \quad \land V(0)=500\Rightarrow V(t) \end{eqnarray*}$ das ist ja kein Problem.

wenn $\begin{eqnarray*} M(t)=M_0+20\cdot 10%-10\cdot K(t) \end{eqnarray*}$ die momentane Salzmenge mit der
Konzentration

$\begin{eqnarray*} K(t)=\frac{M(t)}{V(t)} \quad \land \, K(0)=\frac {M_0}{500} \end{eqnarray*}$ ist.

so mal meine erste Überlegung.

05.05.2018, 20:26

Huggy

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Zitat:

Original von Dopap
Die Volumenänderung ist dann

$\begin{eqnarray*} \dd V=(20-10) \dd t \quad \land V(0)=500\Rightarrow V(t) \end{eqnarray*}$ das ist ja kein Problem

Das ist wirklich kein Problem. Also sollte man einfach unter Weglassung der Einheiten schreiben:

$\begin{eqnarray*} V(t)=500 +10t \end{eqnarray*}$

Zitat:

wenn $\begin{eqnarray*} M(t)=M_0+20\cdot 10%-10\cdot K(t) \end{eqnarray*}$ die momentane Salzmenge ... ist

Aber das ist ein Problem! Die zugeflossene Salznenge ist doch

$\begin{eqnarray*} M_z(t)=2t \end{eqnarray*}$

Da hast du - abgesehen von der unglücklichen Schreibweise - wahrscheinlich niur das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ vergessen hinzuschreiben. Unfug ist allerdings, die abgeflossene Salzmenge als

$\begin{eqnarray*} M_a(t)=10K(t) \end{eqnarray*}$

hinzuschreiben. $\begin{eqnarray*} K(t) \end{eqnarray*}$ ist doch zeitabhängig! Und wäre es nicht zeitabhängig, würde wieder der Faktor $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ fehlen. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} M_a(t)=\int\limits_0^t10K(t')dt' \end{eqnarray*}$

Wenn man nun die Bilanzgleichung

$\begin{eqnarray*} M(t)=M_0+M_z(t)-M_a(t) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableitet und - vor oder nach dem Ableiten - $\begin{eqnarray*} K(t)=M(t)/V(t) \end{eqnarray*}$ einsetzt, hat man eine DGL für $\begin{eqnarray*} M(t) \end{eqnarray*}$ .

05.05.2018, 20:54

Dopap

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auf jeden Fall hat der Punkt gefehlt: $\begin{eqnarray*} \dot M_a(t)=10 K(t) \end{eqnarray*}$

05.05.2018, 21:03

Huggy

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Das musst du wissen. Wenn da aber nur der Punkt gefehlt hat, dann hat auch bei $\begin{eqnarray*} M(t) \end{eqnarray*}$ der Punkt gefehlt. Wenn da aber statt $\begin{eqnarray*} M(t) \end{eqnarray*}$ gemeint war $\begin{eqnarray*} \dot M(t) \end{eqnarray*}$ , dann hat $\begin{eqnarray*} M_0 \end{eqnarray*}$ in der Gleichung nichts zu suchen. Irgendwie ist deine Gleichung ein Tohuwabohu aus $\begin{eqnarray*} M(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot M(t) \end{eqnarray*}$ .

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