Metrik/Norm: Mittelpunkte bestimmen

05.05.2018, 11:20	Fragewurm	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik/Norm: Mittelpunkte bestimmen Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Für einen metrischen Raum $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und Punkte $\begin{eqnarray} x, y \in X \end{eqnarray}$ wird ein Punkt $\begin{eqnarray} m \in X \end{eqnarray}$ Mittelpunkt von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ genannt, wenn $\begin{eqnarray} d(m,y) = d(m,x) = \frac{1}{2} d(x,y) \end{eqnarray}$ gilt. Zu zeigen ist: 1) Ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein normierter Raum, so ist $\begin{eqnarray} m = \frac{x+y}{2} \end{eqnarray}$ ein Mittelpunkt von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Ich habe es so gezeigt: $\begin{eqnarray} d(\frac{x+y}{2} ,y) = \|\|\frac{x+y}{2}-y\|\| = \|\| \frac{x-y}{2} \|\| \end{eqnarray}$ . Und das ist das gleiche vom Betrag her wie $\begin{eqnarray} d(\frac{x+y}{2} ,x) \end{eqnarray}$ . Dabei habe ich angenommen, dass $\begin{eqnarray} d(x,y) := \|x-y\| \end{eqnarray}$ . Kann man das so machen oder muss man $\begin{eqnarray} d(x,y) \end{eqnarray}$ als euklidische Metrik auffassen? 2) Für $\begin{eqnarray} p>1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{x+y}{2} \end{eqnarray}$ der einzige Mittelpunkt von x und y in $\begin{eqnarray} (\mathbb R ^n, \|\|\cdot \|\|_p) \end{eqnarray}$ . Es gilt ja: $\begin{eqnarray} \|\|w\|\|_p = \sqrt[p]{\|w_1\|^p+...+\|w_n\|^p} \end{eqnarray}$ . Aber wie wendet man das hier an? 3) Man soll drei Mittelpunkte von $\begin{eqnarray} (0, 0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1, 1) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (\mathbb R ^2, \|\|\cdot \|\|_1) \end{eqnarray}$ angeben. Solche Punkte sind ja $\begin{eqnarray} (0, 1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ . Aber wie überprüft man das? Habe diese Punkte in die Gleichung eingesetzt, aber keine Lösung erhalten. Gruß

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