Dreifachintegrale Integrationsgrenzen

05.05.2018, 13:26	Jacobsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreifachintegrale Integrationsgrenzen Meine Frage: Guten Mittag liebe Community, Wir haben leider die Aufgabe bekommen, die Funktion z=f(x;y)=x^2+y^2+2, eine 3D-Parabel, die nach oben geöffnet ist, zu berechnen. Und zwar sollen wir das Volumen, welches zwischen f(x;y) und z=3 eingeschlossen wird berechnen. Einerseits mit kartesischen Koordinaten und Dreifachintegral und einmal das selbe in Zylinderkoordinaten. In Zylinderkoordinaten habe ich bereits das richtige Ergebnis herausgefunden, finde aber meine Integrationsgrenzen für das kartesische Dreifachintegral nicht. Meine Ideen: In Zylinderkkordinaten habe ich pi/2 als Volumen, welches eingeschlossen wird raus, dass soll auch, laut Professor richtig sein. Für das Volumen in kartesischen Formen habe ich das Dreifachintegral aufgestellt nach dzdydx mit den Integrationsgrenzen für dz= (x^2+y^2+2) bis 3, dy = 0 bis 1 und dx= 0 bis 1. Wenn ich das Ganze dann 3x Integriere in der Reihenfolge kommt allerdings leider -1 raus, anstatt ca. 1,58 durch pi/2.
05.05.2018, 19:16	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde an Stelle von z=f(x,y) die Funktion $\begin{eqnarray} \omega(x,y)=f(x,y)-2 \end{eqnarray}$ betrachten. Dann integrierst du bezüglich $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ von 0 bis 1. Jetzt kannst du zunächst mal das Integtral im Kopf ausrechnen, denn es besteht aus lauter kleinen dünnen Kreisscheiben mit dem Radius $\begin{eqnarray} \sqrt{\omega} \end{eqnarray}$ , denn es ist $\begin{eqnarray} \omega = x^2+y^2 \end{eqnarray}$ . Jede Kreisscheibe hat also die Fläche $\begin{eqnarray} \pi \omega \end{eqnarray}$ . Damit ist das ganze Volumen: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \pi \omega \; d\omega = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt zum Dreifachintegral. Ich würde folgende Integrationsreihenfolge empfehlen: Zuerst bezüglich y, dann x und dann $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ . Außerdem würde ich in Richtung x und y wegen der Symmetrie jeweils nur das halbe Integrationsintervall nehmen und dann das ganze mit 4 multiplizieren. Denn hast du $\begin{eqnarray} V=4\int_0^1 \int_0^\sqrt{\omega}\int_0^\sqrt{\omega -x^2} \; dy\;dx\;d\omega \end{eqnarray}$

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