Komplexe Ableitung prüfen und bestimmen

05.05.2018, 16:27

forbin

Komplexe Ableitung prüfen und bestimmen

Hallo Leute,

ich sitze an folgender Aufgabe:
[attach]47116[/attach]

a)
$\begin{eqnarray*} u = xy, v = xy \end{eqnarray*}$
Ich bilde die CRDGL (wie bekomme ich das Ausrufezeichen über das Gleichheitszeichen?)
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = y \overset{!}{=} \frac{\partial v}{\partial y} = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial y} = x \overset{!}{=} -\frac{\partial v}{\partial x} = -y \end{eqnarray*}$

Das ist genau dann der Fall, wenn x=y=0. Also ist f komplex differenzierbar im Ursprung.

Bestimmung der Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(0+h)(0+h)+i(0+h)(0+h)}{h} = \lim\limits_{h\rightarrow 0} 0 + h + ih\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Die komplexe Ableitung im Ursprung ist null.

Ist das der richtige Weg?

05.05.2018, 18:47

005

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RE: Komplexe Ableitung prüfen und bestimmen
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f=u+iv \end{eqnarray*}$ ist genau dann im Punkt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar, wenn sie in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ reell differenzierbar ist, und in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten. Zur reellen Differenzierbarkeit hast Du nichts gesagt.

Da, wo es passt, gilt dann $\begin{eqnarray*} f'(c)=u_x(c)+iv_x(c)=v_y(c)-iu_y(c) \end{eqnarray*}$ . Du brauchst nicht mehr mit Differenzenquotienten zu hantieren.

05.05.2018, 19:08

sibelius84

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Hi forbin,

die Limiten sind nur dann nötig, wenn du die CRDGL noch nicht hast. Der "CRDGL-Satz" ist ja eine Äquivalenzaussage: f=u+iv ist komplex differenzierbar in z0=(x0+iy0) genau dann, wenn u=u(x,y) und v=v(x,y) reell differenzierbar sind, und an der Stelle z0 die CRDGL erfüllen. Wenn die reelle Differenzierbarkeit offensichtlich ist, bei so etwas wie x³+iy³, dann reicht es tatsächlich, die Ableitungen zu bilden und sich die explizit angewandten CRDGL aufzuschreiben; an den Stellen, wo diese erfüllt sind, liegt dann automatisch bereits komplexe Differenzierbarkeit vor. Dann gilt - wir erinnern uns, dass wir bei gegebener komplexer Differenzierbarkeit den Limes von jeder beliebigen Seite kommen lassen dürfen, insbesondere zB auch parallel zur reellen Achse:

$\begin{eqnarray*} f'(z_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x+iy_0)-f(x_0+iy_0)}{x-x_0} = f_x(z_0) = u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ .

(Wenn du Lust hast, schau mal, was rauskommt, wenn du den Limes über die imaginäre Achse anlaufen lässt. Das müsste - wie man dann mit den CRDGL sehen kann - genau dasselbe sein.)

Bei der (a) ist es übrigens so, dass die Wertemenge f(x,y)=xy+ixy=(1+i)xy eine Teilmenge der ersten Winkelhalbierenden <1+i> ist, also keine inneren Punkte enthält. Schon daher kann die Funktion (außer evtl in vereinzelten Punkten) nicht komplex differenzierbar sein, wegen Offenheitssatz/Gebietstreue, das wird dann auch irgendwann im Laufe des Semesters noch kommen Augenzwinkern

Und schließlich, das Ausrufezeichen mache ich mit \stackrel{!}= $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}= \end{eqnarray*}$
Tipp: Wenn du LaTeX-Code aus einzelnen Beiträgen sehen willst, dann kannst du einfach auf "Zitat" klicken. In dem Antwortfenster ist dann ein Vollzitat incl. LaTeX-Code. Dadurch habe ich auch schon einiges lernen können Lesen1

LG
sibelius84

06.05.2018, 18:38

forbin

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RE: Komplexe Ableitung prüfen und bestimmen
Hallo ihr beiden (und alle anderen die den Thread besuchen natürlich auch Augenzwinkern

)

danke für eure Antworten.

Zitat:

Original von 005
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f=u+iv \end{eqnarray*}$ ist genau dann im Punkt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar, wenn sie in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ reell differenzierbar ist, und in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten. Zur reellen Differenzierbarkeit hast Du nichts gesagt.

Da, wo es passt, gilt dann $\begin{eqnarray*} f'(c)=u_x(c)+iv_x(c)=v_y(c)-iu_y(c) \end{eqnarray*}$ . Du brauchst nicht mehr mit Differenzenquotienten zu hantieren.

OK, die reelle Differenzierbarkeit hab ich quasi mit der CRDGL abgefrühstückt. Aber das werde ich dann beim nächsten Mal genauer machen.

Zitat:

Original von sibelius84
an den Stellen, wo diese erfüllt sind, liegt dann automatisch bereits komplexe Differenzierbarkeit vor

In a) sind diese ja ausschließlich im Ursprung erfüllt.

Gemäß dem Hinweis von 005 ist also:
$\begin{eqnarray*} f'(0) = u_{x}(0) + i\cdot v_{x}(0) = 0 + i\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ , was sich jetzt mit meiner Lösung deckt.

ist das so ok?

06.05.2018, 18:52

sibelius84

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Sieht gut aus smile

06.05.2018, 18:55

forbin

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Super!

Dann mache ich das mal mit den anderen und würde die auch gerne zur Überprüfung hier posten.

/b)

$\begin{eqnarray*} u(x) = x^{3}, v(y) = y^{2} \end{eqnarray*}$
Beide sind reel differenzierbar.

Nun:
$\begin{eqnarray*} u_{x} = v_{y} \Leftrightarrow 3x^{2} = 3y^{2} \Leftrightarrow x = \pm y \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} u_{y} = v_{x} \Leftrightarrow 0=-0 \end{eqnarray*}$

f ist komplex differenzierbar für $\begin{eqnarray*} z = x\pm i\cdot x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(z) = 3x^{2} \end{eqnarray*}$

06.05.2018, 23:21

sibelius84

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Sieht gut aus Freude

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