Abbildungen und Mengen |
| 05.05.2018, 18:10 | jaaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Abbildungen und Mengen Hallo zusammen, Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir bei meiner Aufgabe helfen könntet. Seien M, N zwei endliche Mengen mit m bzw. n. Wie viele verschiedene Abbildungen von M nach N gibt es(in Abhängigkeit von m,n) Wie viele davon sind injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv? Meine Ideen: Meine Ideen: injektivität, ich weiss nur, dass es zu jedem element y von Zielmenge N höchstens ein Element x von Definitionsmenge M gibt. surjektivität, zu jedem Element y von Zielmenge N mindestens ein Element x von Definitionsmenge M gibt. Aber mir fällt gar nix ein, wie ich die Aufgabe lösen kann. Vielen Dank! Jany |
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| 05.05.2018, 18:44 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, du solltest dir zunächst noch mal verdeutlichen, was eine Abbildung f: M -> N eigentlich bedeutet: Sie bedeutet, dass jedem x aus M genau ein Funktionswert (oder 'Abbildungswert') f(x) zugeordnet wird, der in N liegt. Schau dir doch zunächst mal einfache Beispiele an, etwa M={1,2} und N={1,2,3}. Wie viele Möglichkeiten gibt es, f(1) zu wählen? Wie viele gibt es, f(2) zu wählen? Wie viele Möglichkeiten macht das insgesamt? Wenn du das erledigt hast, kannst du mit der von dir korrekt zitierten Definition herangehen, um herauszufinden, wie viele davon injektiv sind. (Surjektive Abbildungen kann es in diesem Fall nicht geben - ist dir klar, warum?) Dann könntest du mal etwas 'expandieren' zu M={1,2,3,4}, N={1,2,3,4,5}. Die Anzahl aller Abbildungen von M nach N zu bestimmen, dürfte nach dem Obigen schon kein Problem mehr sein; jetzt kannst du dich noch mal da ran machen die injektiven herauszufischen. Versuche dabei das Prinzip zu erkennen, wie du eine injektive Abbildung zusammenbastelst, und daraus die Info zu ziehen, auf wie viele unterschiedliche Arten du das tun kannst. (Ok, kleiner Tipp noch: Wenn du f(1) gewählt hast, wie viele Möglichkeiten hast du dann bei einer injektiven Abbildung noch, f(2) zu wählen? Wenn du f(1) und f(2) gewählt hast, wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch, f(3) zu wählen? usw.) Dann analog mit Konstellationen, von M mehr Elemente hat als N. Wie viele injektive Abbildungen es hier gibt, kannst du ganz unmittelbar sehen (Schubfachprinzip). Versuch mal, ob du auf diesem Wege zu irgendwelchen Ergebnissen bzw. zumindest Überlegungen kommst. Die könntest du dann hier reinstellen und dann könnten wir die gemeinsam besprechen. LG sibelius84 |
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| 06.05.2018, 23:12 | jaaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, Dankeschön für deine ausführliche Erklärung smile Es gibt 6 injektive Möglichkeiten mit M={1,2} und N={1,2, 3}, mxn. Richtig? 
Ja, in dem Fall gibt es keine surjektive Abbildung nach Definition. Aber ich habe gar keine Ahnung wie ich das mathematisch erläutern soll 
Wenn M mehr Elemente hat als N, dann gibt es keine injektive Abbildung, sondern surjektive. Es gibt dann auch wieder mxn Abbildungen, wenn ich richtig verstehe.
Liebe Grüße, Jany |
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| 06.05.2018, 23:24 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, 6 ist richtig. Die Begründung stimmt aber nicht ganz. m·n kommt ja im nächstkomplizierteren Beispiel mit M 4-elementig, N 5-elementig schon nicht mehr hin, oder? Wenn du dir das auch noch angeschaut und durchgerechnet hättest, hättest du schon sehen können, dass die Formel so nicht stimmen kann.
Angenommen, wir haben eine Abbildung f: M -> N, wobei N größere Mächtigkeit habe als M. Die Bildmenge f(M) hat Mächtigkeit kleiner oder gleich M. Also kann nicht f(M)=N gelten, und f kann nicht surjektiv sein. |
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| 07.05.2018, 20:59 | jaaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mmm..
ok, danke, verstehe trotzdem nicht ganz dann
. nicht n! Möglichkeiten? |
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| 08.05.2018, 20:29 | jaaaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mmm..
ok, danke, verstehe trotzdem nicht ganz dann
. nicht n! Möglichkeiten? |
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| 08.05.2018, 22:37 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist schon näher dran! Betrachten wir mal m:=#M=4 und n:=#N=6, dann hast du 6·5·4·3 Möglichkeiten für eine injektive Abbildung. Das ist gerade . Mit einer Notation aus der diskreten Mathematik kann man dies auch notieren als ("fallende Faktorielle"). |
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