Grenzwertberechnung bei Wurzeltermen

06.05.2018, 01:35	KenHenry	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung bei Wurzeltermen Meine Frage: Hallo, ich soll folgendes ausrechnen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } (\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}) \end{eqnarray}$ Diese Wurzeln bringen mich fast um den Verstand. Rein vom Überlegen her müsste der Limes 0 betragen, aber ich weiß nicht, wie ich das möglichst geschickt zeige. Meine Ideen: Ich weiß, dass ich die jeweiligen Wurzeln geschickt erweitern muss, um dann eventuell ein x auszuklammern. Jedoch stehe ich komplett auf dem Schlauch und finde keinen Zielführenden Ansatz.
06.05.2018, 11:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung bei Wurzeltermen Erweitere mit der Summe der Wurzeln.
06.05.2018, 13:23	KenHenry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung bei Wurzeltermen Super, dann kann man ja ganz einfach die 3. Binomische Formel anwenden! Danke schonmal. Also habe ich dann folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray}$ Darf man hier nun $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ in den Wurzeln des Nenners ausklammern? Sodass ich dann folgendes habe: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x^2})}+\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}} \end{eqnarray}$ Reicht es hier schon zu sagen, dass $\begin{eqnarray} \frac{2}{x^2} \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ gegen 0 gehen und man dann $\begin{eqnarray} 2\sqrt{x^{2}(1)} = 2x \end{eqnarray}$ im Nenner hat und der Limes so gegen 0 geht? LG
06.05.2018, 13:47	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Rechenschritt darfst du machen und auch die Begründung ist ok. Wenn du etwas ausführlicher begründen willst: $\begin{eqnarray} \sqrt{x^{2}+1}>\sqrt{x^{2}}=\|x\| \end{eqnarray}$ Das nun übertragen auf den Bruch (Nenner größer => Bruch kleiner) führt zum gewünschten Ergebnis. Eleganter ist es obendrein, aber das ist Ansichtssache
06.05.2018, 14:05	KenHenry	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke Dir. Den Absolutbetrag beim Wurzelziehen von $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ darf man hier doch vernachlässigen, da x in meinem Fall gegen $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ läuft, oder? Schönes Restwochenende noch
06.05.2018, 14:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den Betrag kann man hier weglassen, sollte aber je nach Pingeligkeit des Korrektors eine Bemerkung dazu schreiben. Im Übrigen teile ich forbins Ansicht
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06.05.2018, 14:35	KenHenry	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank euch! Kann geschlossen werden

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