Anfangswertproblem

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verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem
Wie soll ich an diese Aufgabe ran gehen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL Ahnlichkiet
Bei einer DGL der Form



führt die Substitution zu einer DGL mit getrennten Veränderlichen.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Eingesetzt bekomme ich das:



Was soll ich jetzt genau machen?

verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Substitution natürlich auch auf der linken Seite machen. Aus folgt und daraus ?
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y' = u

also :

u = u+e^u

Kann das passen ? verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von verdi33
y' = u

Das ist nicht richtig. Du musst nach der Produktregel ableiten. Ganz ausführlich geschrieben:

 
 
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y= x*u

y`(x) = u+x

So besser ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das mit der Produktregel mußt du noch üben. geschockt
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y=x*u

y'(x) = 1*u+x*0 =u

Jetzt besser ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, und ich verstehe auch nicht, wo das Problem ist. Das u ist keine Konstante, sondern eine Funktion von x. Also ausführlich: y(x) = x * u(x)
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y= x*u(x)

y' = 1*u(x) +x*u'(x)


Jetzt passt es oder ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist es richtig.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

u+x*u' =u+e^u


Was mache ich hier jetzt genau ?

so?

x*u' = e ^u

x*du/dx = e ^u

du/e^u = 1/x

-e ^{-u} = ln(x)+C

Was mache ich jetzt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

(1) Nach auflösen. Dazu zunächst das Minuszeichen von der linken Seite auf die rechte Seite bringen, weil man sonst die linke Seite nicht logarithmieren kann.

(2) Jetzt die Substitution rückgangig machen.

(3) Die Anfangsbedingung benutzen, um die Konstante zu bestimmen.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

e ^u = -ln(x) -C

Wenn ich jetzt ln ziehe ,dann geht das e auf der linken Seite weg ,aber was passiert auf der rechten Seite ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal bleibt das Minuszeichen im Exponenten der e-Funktion erhalten. Das ist vielleicht nur ein Schreibfehler bei dir. Beim Logarithmieren der rechten Seite vereinfacht sich nichts. Da steht dann einfach der Logarithmus der gesamten rechten Seite.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

e ^-u = -ln(x) -C

-u = ln( -ln(x)-C)

u = -ln( -ln(x) -C)

Das ist es ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist Schritt (1) der oben genannten 3 Schritte.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y/x = -ln( -ln(x) -C)


Jetzt e für x einsetzen ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und natürlich . Das auf der linken Seite sollte man natürlich noch auf die rechte Seite bringen. Das kann man aber auch nach dem Bestimmen der Konstante machen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von verdi33
du/e^u = 1/x

Eher wohl du/e^u = dx/x .

Zitat:
Original von verdi33
-e ^{-u} = ln(x)+C

Hier würde ich bevorzugen. smile
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y= -ln( -ln(x) -C)*x

Wie soll ich jetzt hier die Konstante C berechnen ?

Irgendwie kompliziert hier

verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch . Also muss auch die rechte Seite bei Null ergeben. Dazu muss der äußere Logarithmus 0 werden. Dazu muss das Argument des äußeren Logarithmus was werden?
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir mal langsam .
Ist ein wenig kompliziert für mich Big Laugh

y(e)= -ln( -ln(e) -C)*e = -ln(-1-C)*e






Weiter komme ich nicht ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist . Also muss gelten .
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y(e)= -ln( -ln(e) -C)*e = -ln(-1-C)*e =-ln(1+C) *e = 0

So gemeint oder ?


Das hätten wir dann mit Ach und Krach Big Laugh

Wie komme ich auf das C(x) jetzt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Es ist



Wir haben also



Daraus folgt



Daraus folgt



Und C ist eine Konstante und keine Funktion von .
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht wieso in der ersten Zeile kein minus vor dem ln Zeichen mehr steht ?

Wie geht plötzlich in der dritten Zeile das e weg ?

Hast durch e geteilt oder wie?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von verdi33
Ich verstehe nicht wieso in der ersten Zeile kein minus vor dem ln Zeichen mehr steht ?

Oh Gott, ist das schwer mit dir. Also noch mal von Anfang an. Wir haben



Nun bringen wir das Minuszeichen auf die andere Seite



Jetzt hast du vielleicht schon mal irgendwo gehört, dass angeblich sei. Wenn man das mal glaubt, haben wir



Zitat:
Wie geht plötzlich in der dritten Zeile das e weg ?

Hast durch e geteilt oder wie?


Ja, oder die Regel angewandt, ein Produkt ist Null wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Und da nun mal muss der andere Faktor Null sein
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah danke für die Erklärung Big Laugh

ln(-1-C) = 0

Beide Seite e gezogen:

-1-C = 1

-C = 2

C = -2


Das komplette Ergebnis sauber geschrieben wäre dann:
y(x) = -ln( -ln(x) -1)*x


Fertig ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von verdi33
C = -2

Richtig.


Zitat:
Das komplette Ergebnis sauber geschrieben wäre dann:
y(x) = -ln( -ln(x) -1)*x

Wie das? Es sollte doch nicht so schwer sein, in den Term



einzusetzen. Falls dir das gelingt, wäre abschließend noch der letzte Hinweis von Klarsoweit zu beachten, auf den ich erst ganz am Schluss eingehen wollte.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja dumm von mir Big Laugh

y(x) = ln(-ln(x) +2)*x


Welcher letzter Hinweis?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von verdi33

y(x) = ln(-ln(x) +2)*x

Jetzt hast du das Minuszeichen auf der linken Seite vergessen.

Zitat:
Welcher letzter Hinweis?

Dieser Hinweis:

Zitat:
Original von klarsoweit
Hier würde ich bevorzugen. smile

Es geht um die Betragszeichen im Logarithmus.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte sicher auch noch ein Wort über den Gültigkeitsbereich dieser Lösung des AWP verlieren. Der ist jedenfalls nicht ganz , noch nicht mal . Wie groß ist er maximal?
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y(x) = - ln(-ln(x) +2)*x


Also soll jeder Wert im logarithmus immer positiv sein ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Unter Beachtung des Hinweises:



Zitat:
Also soll jeder Wert im logarithmus immer positiv sein ?


Weil exakterweise nicht gilt



sondern eben



Wenn du Lust hast, schau dir noch die Frage von HAL an. Ich bin jetzt erst mal eine Weile weg.
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