Symmetrie: Riemannscher Krümmungstensor

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Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie: Riemannscher Krümmungstensor
Guten Abend,


aus den Symmetrien des Krümmungstensor kann man auf die Symmetrien der Komponenten des Krümmungstensor in einem Koordinatensystem schließen .

Die Symmetrien sind in Wiki aufgelistet
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor#Symmetries_and_identities


In einer Aufgabe soll ich annehmen, dass die Dimension der Mannigfaltigkeit gleich zwei ist, d.h.



Es wird gefragt: Welche Komponenten sind automatisch null und wie lautet die Relation zwischen den nicht "Null-Komponenten".

Irgendwie verstehe die Frage nicht. Ich kenne die Symmetrien der Komponenten z.B. . Wie kann ich jetzt daraus schließen ob es Null ist oder nicht?

Ist das mit null sein vielleicht so gemeint, dass man schauen soll welche Summanden sich in



rauskürzen.

Gruß
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

In dem von dir zitierten Link steht alles, was du benötigst: Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist eine gekrümmte Fläche, also etwas ganz Anschauliches. In diesem Falle reduziert sich der Riemannsche Krümmungstensor auf die einfache Gestalt:



Dabei ist K ein Skalar und ist die Metrik auf der gekrümmten Fläche, also eine symmetrische 2x2-Matrix:



Wegen der Symmetrie von und der o.g. einfachen Form des Krümmungstensor verschwinden viele seiner Elemente . Die nichtverschwindenden Elemente die haben denselben Absolutbetrag (der natürlich an jedem Ort der Fläche variiert).

Beispiel:



Dieser Zahlenwert hängt mit der aus der elementaren Differenzialgeometrie bekannten Gaußsche Flächenkrümmung zusammen. Mit anderen Worten - bei gekrümmten Flächen (n=2) steckt die gesamte Information des Krümmungstensors in der skalaren Gaußschen Krümmung.
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