Symmetrie: Riemannscher Krümmungstensor |
06.05.2018, 19:27 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Symmetrie: Riemannscher Krümmungstensor aus den Symmetrien des Krümmungstensor kann man auf die Symmetrien der Komponenten des Krümmungstensor in einem Koordinatensystem schließen . Die Symmetrien sind in Wiki aufgelistet https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor#Symmetries_and_identities In einer Aufgabe soll ich annehmen, dass die Dimension der Mannigfaltigkeit gleich zwei ist, d.h. Es wird gefragt: Welche Komponenten sind automatisch null und wie lautet die Relation zwischen den nicht "Null-Komponenten". Irgendwie verstehe die Frage nicht. Ich kenne die Symmetrien der Komponenten z.B. . Wie kann ich jetzt daraus schließen ob es Null ist oder nicht? Ist das mit null sein vielleicht so gemeint, dass man schauen soll welche Summanden sich in rauskürzen. Gruß |
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08.05.2018, 09:13 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
In dem von dir zitierten Link steht alles, was du benötigst: Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist eine gekrümmte Fläche, also etwas ganz Anschauliches. In diesem Falle reduziert sich der Riemannsche Krümmungstensor auf die einfache Gestalt: Dabei ist K ein Skalar und ist die Metrik auf der gekrümmten Fläche, also eine symmetrische 2x2-Matrix: Wegen der Symmetrie von und der o.g. einfachen Form des Krümmungstensor verschwinden viele seiner Elemente . Die nichtverschwindenden Elemente die haben denselben Absolutbetrag (der natürlich an jedem Ort der Fläche variiert). Beispiel: Dieser Zahlenwert hängt mit der aus der elementaren Differenzialgeometrie bekannten Gaußsche Flächenkrümmung zusammen. Mit anderen Worten - bei gekrümmten Flächen (n=2) steckt die gesamte Information des Krümmungstensors in der skalaren Gaußschen Krümmung. |
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