Punkt an Gerade spiegeln

07.05.2018, 09:11

wuschelhaschen97

Punkt an Gerade spiegeln

Meine Frage:
Aufgabe ist zu schauen ob P* (4,2) der Spiegelung von P (2,0) an der Spiegelung von gerade g = {x,y) ? R2 : y= -x +4 ist

Rechnerisch für die Uni Augenzwinkern

Meine Ideen:
Zeichnerisch habe ich das schon geprüfte und es passt.

Aber wie löse ich das Rechnerisch?

Hatte etwas gelesen von Hilfsebene aufstellen, aber nur Beispiele im R3 gefunden...

Später muss man den ermittelten x wert einsetzten um y zu erhalten, aber wie komme ich nun auf x?

07.05.2018, 09:35

sixty-four

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Durch die beiden Punkte ist eine Gerade bestimmt. Diese muss zur Spiegelgeraden orthogonal sein. Wenn eine Gerade den Anstieg $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ hat und die andere den Anstieg $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} m_2 = -\frac{1}{m_1} \end{eqnarray*}$ . Wenn du das geprüft hast, musst du nur noch prüfen, ob die Abstände beider Punkte von der Spiegelgeraden gleich sind.

07.05.2018, 10:07

wuschelhaschen97

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Und wie bestimme ich die gerade von den zwei Punkten?

07.05.2018, 10:59

sixty-four

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Dazu gibt es die Zweipunkteform der Geradengleichung. Wenn du zwei Punkte $\begin{eqnarray*} P_1(x_1,y_1) \text{ und } P_2(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$ hast, dann hat die Gleichung der Geraden durch beide Punkte die Form:

$\begin{eqnarray*} y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x -x_1) \end{eqnarray*}$

Den Anstieg dieser Geraden kannst du hier direkt ablesen.

07.05.2018, 11:21

Leopold

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Man muß ja nur ein Ergebnis verifizieren, weswegen man schneller zum Ziel kommt:

An der Normalenform $\begin{align*} x + y = 4 \end{align*}$ liest man den Normalenvektor $\begin{align*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$ ab. Der Verbindungsvektor

$\begin{align*} \overrightarrow{PP^*} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} = - 2 \vec{n} \end{align*}$

und $\begin{align*} \vec{n} \end{align*}$ sind kollinear, weswegen die Gerade $\begin{align*} g \end{align*}$ und die Gerade $\begin{align*} PP^* \end{align*}$ senkrecht aufeinander stehen.

Und jetzt bestimme die Mitte $\begin{align*} M \end{align*}$ der Strecke $\begin{align*} PP^* \end{align*}$ und überprüfe, ob $\begin{align*} M \end{align*}$ auf $\begin{align*} g \end{align*}$ liegt.

07.05.2018, 16:17

wuschelhaschen97

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Die Mitte wäre ja (3,1)

Wäre das dann einfach P‘ - Vektor n?

Wie stelle ich dann fest ob M auf g liegt?

07.05.2018, 16:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von wuschelhaschen97
ob P* (4,2) der Spiegelung von P (2,0) an der Spiegelung [...] ist

Man kann der Einfachheit der Situation wegen schon noch rekonstruieren, was damit gemeint ist. Aber bei komplizierteren Gebilden kann so eine Ausdrucksweise schon mal zu gewaltigen Missverständnissen führen.

07.05.2018, 16:26

wuschelhaschen97

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„Überprüfen Sie ob P* der Spiegelpunkt von P bezüglich der Spiegelung an der Spiegelgeraden g=-x +4 ist.“

07.05.2018, 16:40

Leopold

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Zitat:

Original von wuschelhaschen97
„Überprüfen Sie ob P* der Spiegelpunkt von P bezüglich der Spiegelung an der Spiegelgeraden g=-x +4 ist.“

Na also, geht doch! Augenzwinkern

Das fehlende Komma vor "ob" übersehen wir großzügig, was ja auch nicht schwer ist, denn es steht ja nicht da. Mit dieser kleinen Beckmesserei wollen wir es aber auch sein lassen ...

Zur anderen Frage. Die Frage, ob ein Punkt auf einer durch eine Gleichung definierten Kurve liegt, ist Elementarwissen, manchmal "Punktprobe" geheißen. Ich glaube, wenn du darüber nachdenkst, kommst du selber darauf.

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