Vektorraum der Polynome

07.05.2018, 16:56

Jekyllvshyde

Vektorraum der Polynome

Meine Frage:
Gegeben ist ein Vektorraum V=Z/13Z der Polynome mit Grad kleiner gleich 3, wobei Z der Körper der ganzen Zahlen sein soll. Und zwei Basen $\begin{eqnarray*} A=(1,x,x^2,x^3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(x^3+2x, -3x^2+x, 2x^3+2x^2-x+1, -x^3+4x^2+2) \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten die Abbildung:

$\begin{eqnarray*} f:V \rightarrow V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} aX^3 + bX^2 + cX + d \rightarrow (2a+3b)X^3 + (b+c)X^2 + (b+3d)X + (a+c+2d). \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie die Matrizen M(AB)(f) und M(BA)(f).

Meine Ideen:
Mein Problem ist das ich keine Ahnung habe wie ich die Polynome der Basen in die Abbildungvorschrift einsetzen muss. Klar ist ich muss f(1),f(X),f(X^2),f(X^3) bilden und diese dann als Linearkombination der Polynome von B darstellen, um die Matrix M(AB)(f) zu bekommen und anders herum für M(BA)(f). Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

07.05.2018, 17:07

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Übersetzung zu offensichtlich?
"Natürlich" ist
$\begin{eqnarray*} 1=0X^3+0X^2+0X+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=0X^3+0X^2+1X+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^2=0X^3+1X^2+0X+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^3=1X^3+0X^2+0X+0 \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Koeffizienten liefert dir die vier Bilder. Der größere Aufwand ist die Darstellung durch die neue Basis.

07.05.2018, 17:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektorraum der Polynome

Zitat:

Original von Jekyllvshyde
Meine Frage:
Gegeben ist ein Vektorraum V=Z/13Z der Polynome mit Grad kleiner gleich 3, wobei Z der Körper der ganzen Zahlen sein soll.

Oh je! Man weiß, was gemeint ist. Dennoch stockt einem der Atem.
Nach diesem Zwischenruf aber wieder zurück zur Arbeit!

07.05.2018, 22:05

Jekyllvshyde

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
Ist die Übersetzung zu offensichtlich?
"Natürlich" ist
$\begin{eqnarray*} 1=0X^3+0X^2+0X+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=0X^3+0X^2+1X+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^2=0X^3+1X^2+0X+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^3=1X^3+0X^2+0X+0 \end{eqnarray*}$

Das war sogar mir bewusst Big Laugh

Zitat:

Einsetzen der Koeffizienten liefert dir die vier Bilder.

Genau das ist mein Problem, ich habe keine Ahnung wie ich es einsetze. Ich setzt ja nicht einfach 1,X,... in für X ein. Vielleicht habe ich mich auch einfach von anderen Aufgabe verwirren lassen.

07.05.2018, 22:20

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich dachte das zweite ist offensichtlicher wie das erste.
Nehmen wir mal an, wir wollen $\begin{eqnarray*} f(x^2+2x) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dann sind unsere Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a=0, b=1, c=2, d=0 \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} f(x²+2x)=3x^3+3x^2+1x+2 \end{eqnarray*}$

EDIT(Helferlein): Von d=3 auf d=0 geändert, Tippfehler.

07.05.2018, 22:43

Jekyllvshyde

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, du hast dich bei d=3 verschrieben, denn dann habe ich es glaube ich verstanden. Am Ende rechnest du aber glaube ich mit d=0.

07.05.2018, 22:55

Jekyllvshyde

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(1)=3X+2 f(X)=X^2+1 f(X^2)=3X^3+X^2+X f(x^3)=2x^3+1 \end{eqnarray*}$
jetzt muss ich diese nur noch als linearkombination von der Basis B darstellen. Danke für die Hilfe.

07.05.2018, 23:21

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bilder hast Du richtig bestimmt und meinen Fehler habe ich inzwischen oben korrigiert. Es sollte d=0 sein.

08.05.2018, 12:08

Jekyllvshyde

Auf diesen Beitrag antworten »

Müssen die a,b,c,d der Linearkombination Elemente von Z/nZ sein?

Kann ja mal für f(1) vorrechnen und Ihr könnt gegebenenfalls meine Fehler korrigieren.

$\begin{eqnarray*} f(1)=3X+2=a(X^3+2X)*b(-3X^2+X)+c(2X^3+2X^2-X+1)+d(-X^3+4X^2+2) =X^3(a+2c-d)+X^2(-3b+2c+4d)+X(a+b-c)+(c+2d) \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2& -1& 0 \\ 0&-3&2&4&0\\ 1&1&-1&0&3 \\ 0&0&1&2&2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2& -1& 0 \\ 0&-3&2&4&0\\ 0&0&1&2&2 \\ 0&1&-3&1&3\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2& -1& 0 \\ 0&-3&2&4&0\\ 0&0&1&2&2 \\ 0&0&-7&7&9\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2& -1& 0 \\ 0&-3&2&4&0\\ 0&0&1&2&2 \\ 0&0&0&21&23\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Umformungen sind I: Vertauschung von Zeile 3 und 4 und die neue 4 - 1.
II: 3*4+2
III:4+7*3

09.05.2018, 09:14

Jekyllvshyde

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann keiner meinen Fehler finden?

09.05.2018, 12:30

Jekyllvshyde

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich glaube ich habe es Big Laugh

$\begin{eqnarray*} d=23/21=23+21^{-1}=10*8^{-1}=10*5=50=11 \Rightarrow c=2-2*11=2-22=2-9=-7=6 \Rightarrow -3b=-4d-2c=-44-12=-56=9 \rightarrow b=9*(-3)^{-1}=9*10^{-1}=9*4=36=10 \Rightarrow a=d-2c=11-12=-1=12 \end{eqnarray*}$
also gilt:
$\begin{eqnarray*} f(1)=3X+2 \neq 12*(X^3+2X)+10*(-3X^2+X)+6*(2X^3+2X^2-x+1)+11*(-X^3+4X^2+2)=2X+2 \end{eqnarray*}$

10.05.2018, 00:12

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Dürfte schon mit dem Fehler am Anfang zusammenhängen:

Zitat:

Original von Jekyllvshyde
$\begin{eqnarray*} f(1)=3X+2=a(X^3+2X)+b(-3X^2+X)+c(2X^3+2X^2-X+1)+d(-X^3+4X^2+2) =X^3(a+2c-d)+X^2(-3b+2c+4d)+X(\color{red}2\color{black}a+b-c)+(c+2d) \end{eqnarray*}$

10.05.2018, 14:23

Jekyllvshyde

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe meine Fehler gefunden, Zeile zwei müsste 2 1 -1 0 3 heißen.

Neue Frage »

Antworten »

Vektorraum der Polynome

Verwandte Themen