Frage zu einem LGS

08.05.2018, 12:10	Sabbse92	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu einem LGS Hallo, gegeben sei das folgende LGS $\begin{eqnarray} 0=C_1e^{ix_j} + C_0 + C_{-1} e^{-ix_j} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_j \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Die C können irgendwelche Funktionen seinen, die aber nicht von den $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ abhängen dürfen. j kann folgende Werte annehmen $\begin{eqnarray} j=1,2 \dots , a \quad a\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Warum muss für $\begin{eqnarray} a\geq 3 \end{eqnarray}$ jedes C gleich 0 sein, damit LGS gelöst werden kann. Es ist offensichlich das $\begin{eqnarray} C_i=0 \end{eqnarray}$ das LGS löst, warum können aber keine anderen Lsg existieren? Grüße
08.05.2018, 13:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es reicht, den Fall $\begin{eqnarray} a=3 \end{eqnarray}$ zu betrachten. Für paarweise verschiedene $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ ist die Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} e^{ix_1} & 1 & e^{-ix_1}\\ e^{ix_2} & 1 & e^{-ix_2}\\ e^{ix_3} & 1 & e^{-ix_3}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ regulär - einfach mal die Determinante ausrechnen. EDIT: Upps, stimmt nicht - es muss heißen "für paarweise verschiedene $\begin{eqnarray} e^{ix_j} \end{eqnarray}$ ". Oder man "sperrt" alternativ die $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ in ein halboffenes Intervall der Länge $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ ein...
08.05.2018, 15:05	Sabbse92	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön!
08.05.2018, 15:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze mal noch in bekannten Kontext eingeordnet: Mit den Abkürzungen $\begin{eqnarray} t_k=e^{-ix_k} \end{eqnarray}$ entspricht die obige Matrix übrigens $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t_1^{-1} & 0 & 0\\ 0 & t_2^{-1} & 0\\ 0 & 0 & t_3^{-1}\end{pmatrix}\cdot V \end{eqnarray}$ mit der Vandermonde-Matrix $\begin{eqnarray} V = \begin{pmatrix} 1 & t_1 & t_1^2\\ 1 & t_2 & t_2^2\\ 1 & t_3 & t_3^2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und die zugehörige Vandermonde-Determinante ist bekanntlich von Null verschieden, sofern die $\begin{eqnarray} t_k \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sind.

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