Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen

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08.05.2018, 13:36	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Hey Leute, Ich würde gern Oberflächenintegrale richtig verstehen lernen. Dafür möchte ich mit dem skalaren Fall anfangen: $\begin{eqnarray} \iint\limits_F f\,\mathrm{d}o \end{eqnarray}$ Es würde mir massiv weiter helfen, wenn ihr mir einige Anwendungen für Oberflächenintegrale 1. Art nennen könntet. Stimmt es, dass bei meiner Bezeichnung oben das F die skalare Funktion ist, die die Fläche beschreibt, so wie $\begin{eqnarray} z=F(x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ ? Etwas verwirrend, weil man es ja gewohnt ist, dass klein f die Funktion angibt. Hier ist f aber etwas anderes, stimmts? Wenn f=1 kann man den Flächeninhalt von F berechnen und für f=Dichte kann man die Masse des Flächenstücks berechnen?
08.05.2018, 21:00	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist eine zweidimensionale Flaeche, also eine Menge von Punkten im Raum. Dass man sie als Graph einer Funktion darstellen kann, ist nicht verlangt. Falls es aber doch so ist, wird man die Funktion nicht auch noch $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ nennen. Der Integrand ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und das steht da, wo es hingehoert. Prinzipiell geht dieses Integral wie alle Integrale. Man zerhackt den Integrationsbereich in lauter unendlich kleine Teilstueckchen, die jeweils den Flaecheninhalt $\begin{eqnarray} do \end{eqnarray}$ haben sollen, multipliziert mit $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus dem zugehoerigen Teilstueckchen zu nehmen ist, und "summiert" dann das Produkt $\begin{eqnarray} f(x)\,do \end{eqnarray}$ ueber alle Teilstueckchen zum Wert des Integrals auf. Das erklaert, warum fuer $\begin{eqnarray} f=1 \end{eqnarray}$ die Formel $\begin{eqnarray} \|F\|=\int\!\!\!\!\int_Fdo \end{eqnarray}$ rauskommt, denn die Summe aller Teilflaecheninhalte $\begin{eqnarray} do \end{eqnarray}$ ist ja wohl der Gesamtflaecheninhalt $\begin{eqnarray} \|F\| \end{eqnarray}$ . Entsprechend, wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Flaechendichte ist. Dann ist $\begin{eqnarray} dm=f(x)\,do \end{eqnarray}$ die Masse eines Teilstueckchens und $\begin{eqnarray} m=\int\!\!\!\!\int_F dm=\int\!\!\!\!\int f(x)\,do \end{eqnarray}$ eben die Summe aller Teilstueckchenmassen $\begin{eqnarray} dm \end{eqnarray}$ , also die Gesamtmasse $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ der Flaeche $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ .
08.05.2018, 21:53	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Aber verboten ist es nicht die Funktion, die die Fläche F beschreibt ebenfalls F zu nennen, oder? Denn das wäre für mich naheliegend und übersichtlich. Ich bin mir allerdings bewusst, dass es im allgemeinen mehrere Darstellungen ein und derselben Fläche geben kann. Eine andere wichtige Frage ist aufgekommen, als ich mir die Herleitung angeschaut habe. Es gilt: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}o}{\mathrm{d}u\mathrm{d}v} = \|F_u \times F_v\| \end{eqnarray}$ Ist die Interpretation, dass das Kreuzprodukt der Tangentialvektoren $\begin{eqnarray} F_u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_v \end{eqnarray}$ der Normalenvektor ist, der senkrecht auf beiden und steht und dessen Länge gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms ist, dass von beiden Vektoren aufgespannt wird? Wie würdest du die linke Seite hierbei interpretiere bzw. sprechen? "Die Fläche abgeleitet nach den beiden Koordinatenrichtungen? Mathematisch ich es mir klar, ich bin nur nicht in der Lage es umgangssprachlich zu formulieren. Hast du eine Idee?
08.05.2018, 22:33	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Es verbietet sich von selbst, in ein und demselben Kontext den Buchstaben $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ (oder jeden anderen) mehrmals fuer grundsaetzlich verschiedene Dinge zu verwenden. Ausserdem puzzelst Du alles wild durcheinander: Eine Flaeche $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ kann man als Graph einer Funktion $\begin{eqnarray} z=\phi(x,y) \end{eqnarray}$ oder allgemeiner in Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} (x,y,z)=\Phi(u,v) \end{eqnarray}$ angeben. Oben scheinst Du ersteres anzunehmen, jetzt aber letzteres, denn die Formel $\begin{eqnarray} do=\|\Phi_u\times\Phi_v\|\,du\,dv \end{eqnarray}$ gehoert zu einer Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ . Wenn die Flaeche als Graph einer Funktion $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gegeben ist, gilt stattdessen $\begin{eqnarray} do=\sqrt{\phi_x^2+\phi_y^2+1}\,dx\,dy \end{eqnarray}$ . Aber Du nennst alles immer $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Das kann nichts werden. Die Flaeche ist ein geometrisches Objekt (Menge von Punkten im Raum). Es gibt zwei Moeglichkeiten, eine Flaeche zu beschreiben. Ich frage mich auch, ob Du von den Erklaerungen oben was gelesen und verstanden hast. Da ist naemlich von der Flaeche die Rede, nicht von ihren Beschreibungsmoeglichkeiten (mit denen ergibt es keinerlei Sinn).
09.05.2018, 09:42	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Dann müssen wir kurz den Begriff der Funktion und des Graphen unterscheiden, bevor wie die wichtigen Fragen klären: Der Graph einer Funktion F ist definiert als die Menge aller Punkte (x,y), für die gilt F(x)=y. Damit ist der Graph eine Relation, die jedem x genau ein y zuordnet und damit per Definition eine Funktion. Dass es für diesen Graphen (diese Fläche) mehrere Darstellungen gibt, zweifle ich nicht an. Vielleicht etwas unglücklich zu behaupten, dass genau diese eine Darstellung den selben Namen hat wie der Graph selbst, aber doch nicht falsch. Bei einem Kurvenintegral durfte man doch auch eine Kurve und eine ihrer Parameterdarstellungen beide z.B. K nennen. Das gleiche würde ich gern bei Oberflächenintegralen auch machen, ich möchte einfach eine konsistente Schreibweise. Edit: Oder meinst du, dass ich eine Fläche in expliziter Form und deren Parametrisierung nicht gleichzeitig F nennen darf, weil die explizite Form z.B. ist $\begin{eqnarray} z(x,y)=... \end{eqnarray}$ und eine ihrer Parametrisierungen dann $\begin{eqnarray} F=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Das ist mir natürlich bewusst. Dann achte ich Zukunft darauf die Funktion selbst z zu nennen und die Parametrisierung genau gleich wie die Integrations"grenze" F, in Ordnung soweit?
09.05.2018, 16:33	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen In der Analysis ist es nicht ueblich, eine Funktion mit ihrem Graphen zu identifizieren, auch wenn die mengentheoretische Definition genau so geht. $\begin{eqnarray} F=\{(x,y,\phi(x,y)\mid(x,y)\in A\} \end{eqnarray}$ kannst Du schreiben. Oder $\begin{eqnarray} F=\{(x,y,z)=\Phi(s,t)\mid(s,t)\in B\} \end{eqnarray}$ . Von Integrations"grenzen" kannst Du auch nicht sprechen, nicht mal in Anfuehrungszeichen. Integriert wird immer ueber eine Menge. Nur wenn das ein Intervall in 1D ist, hat man Integrationsgrenzen und kann $\begin{eqnarray} \int_{[a,b]}\ldots=\int_a^b\ldots \end{eqnarray}$ schreiben.
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09.05.2018, 16:49	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Oder $\begin{eqnarray} F=\operatorname{graph}\phi \end{eqnarray}$ . Aber nicht $\begin{eqnarray} F=\phi \end{eqnarray}$ .
09.05.2018, 17:11	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Danke, dann ist mir zumindest klar, warum die Parametrisierungen einen anderen Namen tragen! Jetzt kommt aber die wichtigste aller Fragen: Bei einem Kurvenintegral fand ich die Vorstellung meiner Professorin sehr anschaulich das Wegelement $\begin{eqnarray} \mathrm{d}s \end{eqnarray}$ mit dem Differential $\begin{eqnarray} \mathrm{d}t \end{eqnarray}$ zu erweitern, da $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \end{eqnarray}$ gerade die Ableitung des Weges nach t beschreibt. Der Weg, der beim Integrieren durchschritten wird (nennen wir eine seiner Parametrisierungen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ), ist abgeleitet $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\|K'(t)\| \end{eqnarray}$ . Diese Vorstellung möchte ich gern für Oberflächenintegrale adaptieren, also das Oberflächenelement $\begin{eqnarray} \mathrm{d}o \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{eqnarray}$ erweitern. Sagen wir $\begin{eqnarray} \Phi(u,v) \end{eqnarray}$ ist eine Parametrisierung der Fläche F. Gibt es hier auch eine schöne "Eselsbrücke" wie bei Kurvenintegralen? Ich meine es gilt $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}o}{\mathrm{d}u\mathrm{d}v}=\|\Phi_u\times\Phi_v\| \end{eqnarray}$ . Also "Die Oberfläche ableitet nach u und v ist gleich die Fläche des von den Tangentialvektoren aufgespannten Parallelogramms" ist nicht sehr offensichtlich. Kannst du mir helfen diesen Zusammenhang intuitiv zu erklären?
09.05.2018, 19:28	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Besser faehrt es sich, wenn man so hantiert wie Leibniz. Die Formel schreibt sich dann als $\begin{eqnarray} do=\|\Phi_u\times\Phi_v\|\,du\,dv \end{eqnarray}$ . Das ist als Proportionalitaet zwischen undendlich kleinen Groessen zu verstehen. Motto: Im Kleinen wird alles linear. Entsprechend wird aus einem infinitesimalen Rechteck im Parameterbereich ein infinitesimales Parallelogramm im Bildbereich, sie Kritzelei. Und das wird halt von den Vektoren $\begin{eqnarray} \Phi(u+du,v)-\Phi(u,v)=\Phi_u(u,v)\,du \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi(u,v+dv)-\Phi(u,v)=\Phi_v(u,v)\,dv \end{eqnarray}$ aufgespannt, woraus sich $\begin{eqnarray} do \end{eqnarray}$ wie oben ergibt.
10.05.2018, 02:17	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Danke dir, super erklärt! Schade nur, dass uns zu meinem Ansatz keine anschauliche Erklärung eingefallen ist.
10.05.2018, 06:49	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegrale 1. Art - Verständnisfragen Das liegt daran, dass Dein "Ansatz" nicht recht taugt, waehrend der von Leibniz einfach klasse ist. Nicht umsonst bestimmt er noch heute die Notation. Nicht die Ableitung (wurde erst spaeter erfunden), sondern die Moeglichkeit zur Linearisierung im Kleinen ist der Kern der Differentialrechnung. Und alle Integrale gehen so, wie ich es Dir anfangs erklaert habe. Wenn Du das erstmal verstanden hast, kannst Du Dir unzaehlige Formel und Zusammenhaenge einfach so aus dem Aermel schuetteln. Und Du brauchst Dich auch nicht mehr zu fragen, was ein bestimmte Sorte Integral sein soll: das ist dann von vornherein klar.

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