Homogene Markow-Kette

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Hans13 Auf diesen Beitrag antworten »
Homogene Markow-Kette
Meine Frage:
HI
Also (X_n)_n aus N eine homogene Markow-Kette mit Amfangsverteilung y und Übergangsmatrix M. Jetzt zu zeigen ist dass (X_2n)_n aus N eine homogene Markow-Kette ist.

Eigentlich sieht das ja recht intuitiv aus dennoch habe ich probleme das formal zu beweisen. Habt ihr vielleicht ein paar Ansetze?

Danke M.

Meine Ideen:
Ich habe gedacht mit P (X_0=x_0,...X_n=x_n) anzufangen aber dann müsste ich ja Terme weglassen und könnte nur nmittels Abschätzung auf P (X_0=x_0,...X_2n=x_2n) kommen

Also ich benutze dabei die Charaktersierung der Markoff Kette.
Wenn gilt P (X_0=x_0,...X_n=x_n) = y (x_0)M (x_0,x_1)M (x_1,x_2)... M (x_n-1,x_n) genau dann ist (X_n)_n eine homogene Markow-Kette
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du willst zunächst die Markow-Eigenschaft von beweisen? Das könnte man in aller Ausführlichkeit z.B. so machen

.

Dabei ist der Zustandsraum und die Übergangsmatrix der homogenen Kette . Ein paar Erläuterungen zu den Umformungen:

(1) ist schlicht totale Wahrscheinlichkeit, basierend auf Zerlegung .

(2) folgt direkt aus Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

(3) nutzt die Markoweigenschaft von , und das gleich zweimal.

(4) ist einfach Einsetzen der homogenen Ü-Wkten.

(5) geht auf den Ausgangspunkt der Rechnung zurück und folgt daraus, dass die im Verlauf hier berechnete Wkt nur von , aber nicht von abhängig ist.

Zu erwähnen ist noch, dass die so berechnet Ü-Matrix zum einen zeigt, dass auch homogen ist, und zum anderen, dass ist.
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