Anfangswertproblem 2

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08.05.2018, 17:03

verdi33

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Anfangswertproblem 2

Muss ich bei dieser Aufgabe auch irgendwie substituieren?

08.05.2018, 17:07

HAL 9000

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Du hast hier direkt eine lineare inhomogene DGL erster Ordnung vorliegen. Ich nehme doch an, dass dir die Lösungsmethodik für dieses Standardmodell vertraut ist, was willst du da noch mit einer Substitution erreichen?

D.h. erst homogene Gleichung lösen, dann Variation der Konstanten zur Gewinnung einer partikulären Lösung, und schlussendlich die Bestimmung der Integrationskonstante über die gegebene Anfangsbedingung.

08.05.2018, 17:15

verdi33

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Für die homogene Lösung :

y'+y =0

Das sin(x) lasse ich weg oder ?

08.05.2018, 19:11

HAL 9000

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Ja, $\begin{eqnarray*} y'+y=0 \end{eqnarray*}$ ist die zugehörige homogene Gleichung.

08.05.2018, 19:33

verdi33

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y' = -y

dy/dx = -y

dy/y = -1*dx

ln(y) = -x+C

$\begin{eqnarray*} y= e^{x} *e^{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> e^{c} = C(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= e^{x} *C(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh= e^{x} *C(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt Variation der Konstanten ?

08.05.2018, 19:40

verdi33

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Zitat:

Original von verdi33
y' = -y

dy/dx = -y

dy/y = -1*dx

ln(y) = -x+C

$\begin{eqnarray*} y= e^{-x} *e^{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> e^{c} = C(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= e^{-x} *C(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh= e^{-x} *C(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt Variation der Konstanten ?

Variation der Konstanten:

$\begin{eqnarray*} y= -e^{-x} *C(x)+ e^{-x}*C'(x) \end{eqnarray*}$

Ableitung richtig?

09.05.2018, 08:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von verdi33
$\begin{eqnarray*} yh= e^{-x} *C(x) \end{eqnarray*}$

In der homogenen Lösung ist das C eine Konstante und keine Funktion von x. Also: $\begin{eqnarray*} y_h= e^{-x} \cdot C \end{eqnarray*}$

Erst bei der Variation der Konstanten wird daraus eine Funktion: $\begin{eqnarray*} y_p= e^{-x} \cdot C(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von verdi33
$\begin{eqnarray*} y= -e^{-x} *C(x)+ e^{-x}*C'(x) \end{eqnarray*}$

Ableitung richtig?

Ja, wenn du es so schreibst: $\begin{eqnarray*} y_p' = -e^{-x} \cdot C(x) + e^{-x} \cdot C'(x) \end{eqnarray*}$

09.05.2018, 14:39

verdi33

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y' +y = sin(x)

-e^{-x}*C(x) +e^{-x}*C'(x) +e^{-x}*C(x)= sin(x)

e^{-x}*C'(x) = sin(x)
C'(x) = sin(x) /(e^{-x})

hmm wie integriere ich das jetzt?

09.05.2018, 14:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von verdi33
C'(x) = sin(x) /(e^{-x})

Wenn du das noch so schreibst: $\begin{eqnarray*} C'(x) = sin(x) \cdot e^x \end{eqnarray*}$ , dann wäre eine Idee eine zweifache partielle Integration. Augenzwinkern

09.05.2018, 15:02

verdi33

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$\begin{eqnarray*} cos(x)*e^{x} -\int_{a}^{b} \! sin(x)*e^{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Soweit ok?

Was jetzt?

09.05.2018, 15:15

klarsoweit

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Mir scheint, daß du die partielle Integration nicht korrekt angewendet hast. Ohnehin wäre es hilfreich, wenn du auch das Gleichheitszeichen verwendest, denn so ist das nur ein Ausdruck, über den man nicht viel sagen kann.

09.05.2018, 15:16

verdi33

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Wo liegt der Fehler ?

09.05.2018, 15:30

klarsoweit

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Das hängt davon ab, welche Formel du nimmst. Ich kenne diese:

$\begin{eqnarray*} \int u'(x) \cdot v(x) ~dx = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) ~dx \end{eqnarray*}$

Du mußt jetzt für dich entscheiden, was u(x) und v(x) ist.

09.05.2018, 15:46

verdi33

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$\begin{eqnarray*} -cos(x)*e^{x} -\int_{a}^{b} \! sin(x)*e^{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt passt es oder ?

09.05.2018, 15:54

HAL 9000

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Ich schließe mich klarsoweits Aufforderung an: Bitte schreibe ganze Gleichungen statt bloßer (losgelöster) Terme! Man weiß ja gar nicht, welches Integral du da gerade umformst. unglücklich

09.05.2018, 16:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von verdi33
$\begin{eqnarray*} -cos(x)*e^{x} -\int_{a}^{b} \! sin(x)*e^{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt passt es oder ?

Es würde passen, wenn du dies schreibst: $\begin{eqnarray*} \int_a^b -cos(x) \cdot e^x = [-cos(x)*e^{x}]_a^b - \int_{a}^{b} \! sin(x)*e^{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Blöderweise ist aber $\begin{eqnarray*} \int_a^b -cos(x) \cdot e^x \end{eqnarray*}$ nicht das Integral, was du lösen mußt. Und obendrein würde ich die Integrationsgrenzen weglassen, da es ja "nur" um die Bestimmung einer Stammfunktion geht.

09.05.2018, 16:14

HAL 9000

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Anmerkung: Ich denke mal, die Grenzen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ hat der Fragesteller einfach "vergessen", aus dem LaTeX-Code zu streichen - die hiesige Formeleditor-Eingabemaske platziert diese $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ja automatisch rein...

10.05.2018, 15:22

verdi33

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Wie geht es weiter?

11.05.2018, 07:29

klarsoweit

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Mache mit dem Integral auf der rechten Seite nochmal eine partielle Integration. Dann kannst du nach dem gesuchten Integral auflösen.

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