Tangentialvektoren an die Sphäre

08.05.2018, 20:28	King-Kale	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialvektoren an die Sphäre Meine Frage: Sei r > 0, Sr := {x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R^{3} \end{eqnarray}$ \|\|x\| = r}. (Sr ist die Niveaumenge Nd der Funktion f(x) = $\begin{eqnarray} x_1 ^{2} + x_2 ^{2} + x_3 ^{2} \end{eqnarray}$ zum Wert d= $\begin{eqnarray} r^{2} \end{eqnarray}$ .) Sei $\begin{eqnarray} x_{} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{r}{\sqrt{3} } \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Zu jedem Vektor $\begin{eqnarray} v \in R^{3} \end{eqnarray}$ mit Skalarprodukt (grad f ( $\begin{eqnarray} x_{} \end{eqnarray}$ ), v) = 0 existiert ein offenes Intervall I mit 0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ I und eine differenzierbare Kurve c:I -> Sr mit c(0) = $\begin{eqnarray} x_{} \end{eqnarray}$ ,c´(0)=v. Meine Ideen:* 1) Skalarprodukt (grad f ( $\begin{eqnarray} x_{} \end{eqnarray}$ ), v) = 0: Dies sagt mir, dass beide Vektoren senkrecht zueinander stehen müssen 2) r = $\begin{eqnarray} \sqrt{x_1^{2} + x_1^{2} + x_3^{2} } \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} x_{} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{r}{\sqrt{3} } \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3} } \begin{pmatrix} r \\ r \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3} } \begin{pmatrix} \sqrt{x_1^{2} + x_1^{2} + x_3^{2} } \\ \sqrt{x_1^{2} + x_1^{2} + x_3^{2} } \\ \sqrt{x_1^{2} + x_1^{2} + x_3^{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 4) f ( $\begin{eqnarray} x_{} \end{eqnarray}$ )= 3( $\begin{eqnarray} x_1 ^{2} + x_2 ^{2} + x_3 ^{2} \end{eqnarray}$ ) (hab $\begin{eqnarray} x_{} \end{eqnarray}$ eingesetzt) 5)c´(0)=v $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to \infty } \frac{c(h) -c(0)}{h} = v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to \infty } \frac{c(h) -x_{}}{h} = v \end{eqnarray*}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »