Eigenschaften äußeres Lebesguemaß

08.05.2018, 23:52

Erebos

Eigenschaften äußeres Lebesguemaß

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \mu^{*}: \mathfrak{P}(\mathbb R ^{n})\rightarrow \mathbb R_{\geq 0}\cup \left\{ \infty \right\} \end{eqnarray*}$ bezeichnet das äußere Lebesguesche Maß. Mit $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ wird die Einschränkung des äußeren Lebesgueschen Maßes auf die Menge aller Lebesgue-messbaren Mengen bezeichnet.

i) Zeige, dass das äußere Lebesguesche Maß nicht endlich additiv ist.
ii) Sei $\begin{eqnarray*} A\subset \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ die Menge aller reeller Zahlen, deren Dezimaldarstellung keine 4 enthält. Berechne $\begin{eqnarray*} \mu(A) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zu i) Da ja das Lebesguemaß die Sigma-Additivität und damit auch die endliche Additivität erfüllt, habe ich überlegt, dass die endliche Additivität des äußeren Lebesgueschen Maßes nur für Mengen verletzt ist, welche nicht Lebesgue-messbar sind. Wie genau ich eine solche Menge konstruiereist mir nicht klar.

Zu ii) Ich vermute zwar, dass es sich bei A um eine Nullmenge handelt, habe aber noch keinen brauchbaren Ansatz gefunden. Da es sich bei A immer noch um eine überabzählbare Menge handelt, kann ich nicht einfach folgern, dass A eine Nullmenge ist. Ich habe schon etwas zu Cantormengen durchgelesen, sehe aber keinen Zusammenhang zu der Konstruktion einer Cantormenge und zur Menge A.

09.05.2018, 09:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Erebos
dass die endliche Additivität des äußeren Lebesgueschen Maßes nur für Mengen verletzt ist, welche nicht Lebesgue-messbar sind. Wie genau ich eine solche Menge konstruiereist mir nicht klar.

Vielleicht solltest du deine Aufgaben auch mal im inhaltlichen Zusammenhang sehen. Bzw. überhaupt auch mal die eingelaufenen Antworten in den angefangenen Threads beachten.

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