Ordnung einer Zahl a modulo q

09.05.2018, 09:49

SoulOfMidgard

Ordnung einer Zahl a modulo q

Meine Frage:
p,q sollen verschiedene Primzahlen sein und p Teiler von 1+a+...+a^(q-1). Ich soll zeigen dass dann p=1 mod q gilt.

Meine Ideen:
Nach rumprobieren ohne Erfolg erhielt ich den Tipp, dass ich die Ordnung für a in (Z/pZ) berechnen soll. Ich habe aber absolut keine Ahnung wie ich das allgemein machen soll. Wie ich generell die Ordnung berechne ist mir klar (also z.b. die Ordnung von 3 in modulo irgendwas), also durch potenzieren. Aber wie soll ich das hier anstellen und wie hilft mir das weiter?

09.05.2018, 10:26

HAL 9000

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Im Fall $\begin{eqnarray*} a\equiv 1\bmod p \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1+a+\ldots+a^{q-1}\equiv q\bmod p \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} p\mid q \end{eqnarray*}$ . Das widerspricht aber der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ verschiedene Primzahlen sind

Sei im folgenden also $\begin{eqnarray*} a\not\equiv 1\bmod p \end{eqnarray*}$ . Die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} (a-1) \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} a^q\equiv 1\bmod p \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(a) \mid q \end{eqnarray*}$ , und weil $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Primzahl ist, bedeutet das sogar $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(a) = q \end{eqnarray*}$ . Jetzt fehlt nur noch ein Minischritt.

09.05.2018, 11:51

SoulOfMidgard

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Ich sehe den Zusammenhang zwischen der Ordnung von a in pZ und p=1 mod q einfach nicht... Ich habe jetzt wirklich bereits mehr als eine Stunde überlegt. Haben Sie vielleicht einen Tipp?

Achso und haben Sie ein Paypal Konto? Ich würde Ihnen gerne einen Obulus da lassen für die ganze Hilfe die letzten Tage! Ich bräuchte nur eine e-Mailadresse!

09.05.2018, 12:42

HAL 9000

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Die Ordnung eines Gruppenelements ist stets Teiler der Gruppenordnung. Und letztere ist hier gleich $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ . D.h., es ist $\begin{eqnarray*} q\mid (p-1) \end{eqnarray*}$ , was nur eine andere Schreibweise für $\begin{eqnarray*} p\equiv 1\bmod q \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von SoulOfMidgard
Ich würde Ihnen gerne einen Obulus da lassen für die ganze Hilfe die letzten Tage!

Das spende mal besser an Organisationen oder Leute, die es nötiger haben als ich.

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