Verteilung und Aussuchen einer Wette

09.05.2018, 12:57

Lauraundlisa1

Verteilung und Aussuchen einer Wette

Hallo alle zusammen ich habe die folgende Aufgabe siehe Bild.

Ich würde sagen das man die Situation so darstellen kann, dass es die Binomialverteilung ist.

Also:

N6= "keine sechs würfeln"
6= "eine sechs Würfeln"

so Nun bin ich mir nicht sicher ob ich die Wahrscheinlichkeiten berechnen soll oder ob ich die Erwartungswerte berechnen soll.

Der Erwartungswert wäre ja: E(X)= n*1/6

09.05.2018, 13:04

HAL 9000

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Es geht nicht um Erwartungswerte, sondern um den Vergleich der drei Wahrscheinlichkeitswerte $\begin{eqnarray*} P\left(X_6 \geq 1\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P\left(X_{12} \geq 2\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P\left(X_{18} \geq 3\right) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} X_n\sim B\left(n,\frac{1}{6}\right) \end{eqnarray*}$ .

09.05.2018, 13:47

G090518

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Tipp:
Verwende zum Rechnen die GegenWKT:

P(X>=1) = 1-P(X=0)
usw.

09.05.2018, 21:09

Lauraundlisa1

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Hallo Lieber Hal smile

$\begin{eqnarray*} P(X_{6}>=1)=1-(\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^6) =0,6651 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_{12}>=2)=1-(\begin{pmatrix} 12 \\ 12 \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^{12})-\begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix} *(\frac{1}{6})*(\frac{5}{6})^{11} =0,618 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(X_{18}>=3)=1-(\begin{pmatrix} 18 \\ 18 \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^{18})-(\begin{pmatrix} 18 \\ 1 \end{pmatrix} *(\frac{1}{6})*(\frac{5}{6})^{17}+\begin{pmatrix} 18 \\ 2 \end{pmatrix}*(\frac{1}{6})^{2}*(\frac{5}{6})^{16} ) =0,5973 \end{eqnarray*}$

so sollte es doch stimmen oder ?
Dann würde ich ja aufjedenfall die a) nehmen

10.05.2018, 00:59

Daniel444

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Fast richtig, die Bernoullische Formel wird allerdings mit diesen Binomialkoeffizienten notiert, (hat aber keine Auswirkungen auf das richtige Endergebnis):

$\begin{eqnarray*} P(X_{6}>=1)=1-\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \left(\frac{5}{6}\right)^6 =0,6651 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_{12}>=2)=1-\left(\begin{pmatrix} 12 \\ 0 \end{pmatrix} \left(\frac{5}{6}\right)^{12}+\begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^{11}\right) =0,618 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(X_{18}>=3)=1-\left(\begin{pmatrix} 18 \\ 0 \end{pmatrix} \left(\frac{5}{6}\right)^{18}+\begin{pmatrix} 18 \\ 1 \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^{17}+\begin{pmatrix} 18 \\ 2 \end{pmatrix}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{16} \right) =0,5973 \end{eqnarray*}$

10.05.2018, 01:00

Dopap

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ich habe es jetzt nicht numerisch nachgerechnet aber es sieht gut aus. Freude

Da der Treffer in diesen Fällen keine Sechs bedeutet, folgt dann in der Formel z.b. bei b.) :

$\begin{eqnarray*} P(X_{12}\geq2)=1-\left[\begin{pmatrix} 12 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{12}-\begin{pmatrix} 12 \\ {\color{red}11} \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{11} \right] =0,618 \end{eqnarray*}$

was aber aus Symmetriegründen keinen Fehler produziert, da $\begin{eqnarray*} \binom{12}{1}=\binom{12}{11} \end{eqnarray*}$ gilt

10.05.2018, 01:39

Daniel444

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Da hast du vollkommen Recht, das Ereignis keine Sechs zu würfeln ist in diesem Fall das gewünschte Ereignis. Man kann noch zur Verdeutlichung die Faktoren umstellen, und sollte aus dem Minus ein Plus machen

$\begin{eqnarray*} P(X_{12}\geq2)=1-\left[\begin{pmatrix} 12 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{12}{\color{red}+}\begin{pmatrix} 12 \\ 11 \end{pmatrix} \cdot {\color{green}\left(\frac{5}{6}\right)^{11}}\cdot \left(\frac{1}{6}\right) \right] =0,618 \end{eqnarray*}$

10.05.2018, 11:09

Lauraundlisa1

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Hallo,

hm ich verstehe nicht so ganz den fehler.

Wir haben zwei Möglichkeiten

1. Möglichkeit: Eine sechs zu würfeln P({6})= 1/6
2. Möglichkeit: Keine sechs zu würfeln P( {K6} ) = 5/6

P(X6>=1)=1- $\begin{eqnarray*} \left(\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \ \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^6 \frac{1}{6^0} \right) \end{eqnarray*}$

Das was in der Klammer steht bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit das in allen 6 würfen keine sechs gewürfelt wird .
Die gegenwahrscheinlichkeit davon ist: mindestens eine sechs würfeln in 6 zügen.

zu b)

Hier wird Komplizierter:

Das erste bis zum 2 minus bedeutet nichts anderes als : mindestens eine sechs würfeln in 18 zügen.
Nun ziehen wir von der Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeiten ab das wir genau eine 6 würfeln in irgendeinem zug. Dann kriegen wir die Wahrscheinlichkeit raus das wir mindestens 2 mal sechs würfeln.

C) genau so mit der selben idee bin ich vorgegangen

10.05.2018, 14:56

Lauraundlisa1

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Kann mir jemand eine Antwort geben bitte ?

10.05.2018, 18:11

Kääsee

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@Lauraundlisa1 (da immer noch keiner geantwortet hat): ich denke, den beiden geht es eher um die Notation. Dein Ergebnis ist schon richtig.

10.05.2018, 18:13

Dopap

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manche sind eben noch unterwegs und trinken ihr Vatertagsbier... smile

Zitat:

Original von Lauraundlisa1

$\begin{eqnarray*} P(X_{18}>=3)=1-(\begin{pmatrix} 18 \\ 18 \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^{18})-(\begin{pmatrix} 18 \\ 1 \end{pmatrix} *(\frac{1}{6})*(\frac{5}{6})^{17}+\begin{pmatrix} 18 \\ 2 \end{pmatrix}*(\frac{1}{6})^{2}*(\frac{5}{6})^{16} ) =0,5973 \end{eqnarray*}$

hier stimmen die Vorzeichen und/oder fehlende Klammern nicht.
Sei S=Anzahl der Ereignisse $\begin{eqnarray*} \{6\}\quad \text{und}\,\, n=18 \end{eqnarray*}$ .
Und da jetzt die S zählen ist die Anzahl doch invers also S =0,1,2 Hier mal die ganz korrekte Schreibweise und ohne große Klammer und extra genau:

$\begin{eqnarray*} P(S)\geq 3 =1-P(S\leq 2)=1-\begin{pmatrix} 18 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \left(\frac 16\right)^0\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{18}-\begin{pmatrix} 18 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{17}-\begin{pmatrix} 18 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{16} =0,59734568595 \end{eqnarray*}$

Wichtig sind gut gewählte Zufallsvariable und strenge Schreibweise.

10.05.2018, 18:27

Kääsee

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Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von Lauraundlisa1

$\begin{eqnarray*} P(X_{18}>=3)=1-\textcolor{red}{(}\begin{pmatrix} 18 \\ 18 \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^{18}\textcolor{red}{)}-\textcolor{red}{(}\begin{pmatrix} 18 \\ 1 \end{pmatrix} *(\frac{1}{6})*(\frac{5}{6})^{17}+\begin{pmatrix} 18 \\ 2 \end{pmatrix}*(\frac{1}{6})^{2}*(\frac{5}{6})^{16} \textcolor{red}{)} =0,5973 \end{eqnarray*}$

hier stimmen die Vorzeichen und/oder fehlende Klammern nicht.

$\begin{eqnarray*} P(S)\geq 3 =1-P(S\leq 2)=1-\begin{pmatrix} 18 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \left(\frac 16\right)^0\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{18}-\begin{pmatrix} 18 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{17}-\begin{pmatrix} 18 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{16} =0,59734568595 \end{eqnarray*}$

Sorry, dass ich mich einmische, aber ich verstehe nicht, wo du fehlende Klammern siehst. Ja, die Schreibweise könnte etwas besser sein, aber ich finde, grundsätzlich gibt es nichts auszusetzen!

10.05.2018, 18:42

Dopap

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ist ja richtig und in Farbe kann ich's auch erkennen, aber als Interpreter im Abzählmodus für kleine Klammern bin ich nicht geeignet. Die erste Klammer war unnötig, die zweite dann schon...
Augen und Geduld lassen halt nach Wink

10.05.2018, 18:46

Lauraundlisa1

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Hallo Dopap und alles gute zum Vatertag smile

Wenn S = Anzahl der Ereignisse {6} ist
dann sage ich mal das A= Anzahl der Ereignisse keine {6} ist.

Zitat:

Original von Lauraundlisa1

$\begin{eqnarray*} P(X_{18}>=3)=1-(\begin{pmatrix} 18 \\ 18 \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^{18}) \end{eqnarray*}$

Dieser teil bedeutet für mich: Die gegen Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit das in 18 würfen 18 mal KEINE sechs gewürfelt wird also ausgeschrieben: $\begin{eqnarray*} P(X_{18}>=3)=1-(\begin{pmatrix} 18 \\ 18 \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^{18} (\frac{1}{6} )^0) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lauraundlisa1
$\begin{eqnarray*} -(\begin{pmatrix} 18 \\ 1 \end{pmatrix} *(\frac{1}{6})*(\frac{5}{6})^{17}+\begin{pmatrix} 18 \\ 2 \end{pmatrix}*(\frac{1}{6})^{2}*(\frac{5}{6})^{16} ) \end{eqnarray*}$

Dieser Teil bedeutet für mich: Ich ziehe von der W. das mindestens eine sechs auftaucht die Wahrscheinlichkeiten das genau eine 6 und genau zwei 6er gewürfelt wird ab.

Die Wahrscheinlichkeit das genau eine 6 gewürfelt wird:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 18 \\ 1 \end{pmatrix} *(\frac{1}{6})*(\frac{5}{6})^{17} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit das genau zwei 6er gewürfelt wird:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 18 \\ 2 \end{pmatrix}*(\frac{1}{6})^{2}*(\frac{5}{6})^{16} \end{eqnarray*}$

Das einzige unschöne von meinem Ergebnis ist ( meiner Meinung) :

Zitat:

Original von Lauraundlisa1

$\begin{eqnarray*} P(X_{18}>=3)=1-(\begin{pmatrix} 18 \\ 18 \end{pmatrix} *(\frac{5}{6})^{18}) \end{eqnarray*}$

Hier in diesem Teil benutze ich das Ereignis A

Zitat:

und Hier benutze ich Ereignis S

aber einen Fehler sehe ich nicht

11.05.2018, 00:44

Dopap

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wir sehen ja auch keinen Fehler. Die Ergebnisse stimmen ja auch.

Nur:

es ist eben für mich verwirrend und unübersichtlich sich in deine Gedankengänge samt Mix aus Ereignissen und Schreibfiguren hinein zu versetzen. Deshalb habe ich den Fall n=18 (die anderen Fälle sinngemäß ) nochmals nur mit S und eindeutiger Schreibfigur notiert. Man sieht da sehr gut, wie die Laufvariable von Null bis 2 läuft.

$\begin{eqnarray*} P(S\geq 3)=1-P(S\leq 2)=1-\sum_{k=0}^{2}\,(\tfrac 16)^k\cdot(1-\tfrac 16)^{18-k} \end{eqnarray*}$

man muss es nicht mit dem Gegenereignis rechnen, es geht auch so:

$\begin{eqnarray*} P(S\geq 3)=\sum_{k=3}^{18}\,(\tfrac 16)^k\cdot(1-\tfrac 16)^{18-k} \end{eqnarray*}$

jedenfalls ist das meinem Taschenrechner sowas von egal Augenzwinkern

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Edit: und für den Fall einer Klassenarbeit würde ich diesen kurzen und klaren Stil sehr empfehlen und keine "Romane". Das freut den Lehrer.

(Ich spreche da aus Erfahrung)

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