Differenzierung f(0)=e und f(x)=(1+x)^1/x , x>0

10.05.2018, 15:53	Beckziii95	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierung f(0)=e und f(x)=(1+x)^1/x , x>0 Meine Frage: Hallo Leute. Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe Es sei f : [0,?) nach R definiert durch f(0) = e und f(x) = (1 + x)^1/x für x>0. Zeigen Sie, dass f in 0 differenzierbar ist und berechnen Sie f(0). Zeigen Sie außerdem, dass limx?? f(x) = 1 und f streng monoton fallend. Meine Ideen: Habe wie folgt abgeleitet. ((1+x)^1/x)' = (x+1)^1/x * (log(x+1)/x) (Verallgemeinerte Potenzregel) = ((x+1)^1/x * ((log(x+1))' * x - log(x+1) * (x)')/x^2 (Quotientenregel) = ((x+1)^1/x * (x/x+1 - log(x+1)))/x^2 (Log-Gesetze) Nun hab ich das Ergebnis von mehreren Online Rechnern bestätigen lassen, jedoch wenn ich diese Ableitung mir darstellen lasse, kommt etwas total sinnfreies heraus. Nämlich das f'(x)>0, dabei müsste f'(x)<0 sein um strenge fallende Monotonie zu gewährleisten. Den Beweis für limx?? f(x) = 1 habe ich schon erledigt. Bei dem ersten Aufgabenteil bräuchte ich ebenfalls noch den passenden Ansatz. Würde mich über Hilfe freuen Ps: die ? sind unendlich Zeichen
10.05.2018, 16:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung kann man zum Beispiel mit einer Potenzreihenrechnung herausbekommen. Aus $\begin{align} f(x) = \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}} \end{align}$ erhält man durch Logarithmieren und Vorziehen des Exponenten: $\begin{align} \ln \left( f(x) \right) = \frac{1}{x} \cdot \ln (1+x) \end{align}$ Wieder zurück durch Exponenzieren: $\begin{align} f(x) = \operatorname{e}^{\frac{1}{x} \cdot \ln (1+x)} \end{align}$ Jetzt beginnt man mit der Potenzreihe für den Logarithmus und dividiert durch $\begin{align} x \end{align}$ : $\begin{align} \frac{1}{x} \cdot \ln (1+x) = 1 - \frac{1}{2} x + O \left( x^2 \right) \end{align}$ Das setzt man in die Potenzreihe der Exponentialfunktion ein: $\begin{align} f(x) = 1 + \left( 1 - \frac{1}{2} x + O \left( x^2 \right) \right) + \frac{1}{2!} \left( 1 - \frac{1}{2} x + O \left( x^2 \right) \right)^2 + \frac{1}{3!} \left( 1 - \frac{1}{2} x + O \left( x^2 \right) \right)^3 + \ldots \end{align}$ Jetzt muß man die rechte Seite nach Potenzen von $\begin{align} x \end{align}$ ordnen. Allgemein lassen wir das lieber bleiben. Wir brauchen ja nur $\begin{align} f'(0) \end{align}$ . Und das ist der Koeffizient der ersten Potenz $\begin{align} x \end{align}$ . Man überlegt sich, welchen Beitrag $\begin{align} \frac{1}{k!} \left( 1 - \frac{1}{2} x + O(x^2) \right)^k \end{align}$ für ein ganzzahliges $\begin{align} k\geq 1 \end{align}$ dazu leistet. Denkt man sich die Potenz als Produkt der $\begin{align} k \end{align}$ Klammern, so kann beim Ausmultiplizieren ein Glied vom Grad 1 nur entstehen, wenn $\begin{align} k-1 \end{align}$ Einsen auf das Glied $\begin{align} - \frac{1}{2} x \end{align}$ treffen. Der Wert des Produktes ist klar, jetzt ist es nur eine Frage elementarer Kombinatorik, wie oft das passiert. Ergänzung (EDIT) Ich sehe gerade, daß deine Ableitung für $\begin{align} x>0 \end{align}$ nicht stimmt. Dein Aufschrieb ist kaum lesbar. Warum verwendest du nicht den Formeleditor? Darüber hinaus fehlen an entscheidenden Stellen Klammern, was den Term absurd macht. Aber auch wenn man die Klammern sinnvoll ergänzt, wie es vermutlich gemeint ist, bleibt es falsch, zumindest unterwegs. Lange Rede, kurzer Sinn - das ist die Ableitung: $\begin{align} f'(x) = \left( 1+x \right)^{\frac{1}{x}} \cdot \left( - \frac{1}{x^2} \ln(1+x) + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x+1} \right) \, , \ \ x>0 \end{align}$ Statt mit einer Potenzreihenrechnung kannst du auch hiermit $\begin{align} f'(0) \end{align}$ berechnen, indem du dich auf den folgenden Satz berufst: Ist die Funktion $\begin{align} g \end{align}$ im Intervall $\begin{align} [a,b] \end{align}$ stetig und in $\begin{align} (a,b] \end{align}$ differenzierbar und existiert der (rechtsseitige) Grenzwert $\begin{align} \lim_{x \to a} g'(x) = \lambda \in \mathbb{R} \end{align}$ , so ist $\begin{align} g \end{align}$ auch in $\begin{align} a \end{align}$ (rechtsseitig) differenzierbar, und es gilt: $\begin{align} g'(a) = \lambda \end{align}$ . Fürs konkrete Rechnen empfiehlt es sich, das Bruchprodukt auseinanderzuziehen: $\begin{align} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \end{align}$ und den ersten Summanden mit dem Logarithmusteil zu verquirlen: Hauptnenner, Brüche addieren, l'Hospital.

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