Jordanmatrizen

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Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Jordanmatrizen
Ein freundliches Hallo!

Ich hab hier ein Problem. Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Ich habe eine 4x4-Matrix mit em 4-fachen Eigenwert 0. Der Eigenraum zu 0 ist zweidimensional. Die Jordannormalform dieser Matrix hat also 0-en auf der Diagonale und 2 Jordanblöcke.

Es gibt jetzt aber 2 Möglichkeiten, wie die Jordannormalform aussehen kann:
Die eine hat 2 2x2-Jordanblöcke, die andere hat einen 1x1- und einen 3x3-Block.
Sind die beiden ähnlich, gibt es also bis auf Ähnlichkeit doch nur eine Möglichkeit?

Wenn die nicht ähnlich sind, wie kann ich erkennen, welche Form meine Matrix hat?

verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanmatrizen
Verschoben
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanmatrizen
Ich zitiere mal eine dem Board wohlbekannte Algebraikerin (sagt man so?):

Zitat:
Grösse aller Blöcke zu einem Eigenwert = algebraische Vielfachheit = Vielfachheit im char. Polynom
Anzahl der Blöcke zu einem Eigenwert = geometrische Vielfachheit = Dimension des Eigenraums


Das hilft dir, oder?

Gruß vom Ben
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, daher weiß ich ja, dass ich insgesamt 4x4 Jordanblöcke zur 0 hab (weil das charakteristische Polynom x^4 ist), und zwei Jordanblöcke (weil der Eigenraum zweidimensional ist).
Jetzt bleibt mir nur noch die Unterscheidung zwischen den Jordanblock-Formaten 2-2 und 1-3 (= 3-1).

Ist Algebra, ja? Sorry, hatte mich im Brett geirrt.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich muss man diverse Ränge von speziellen Matrizen berechnen, um die Grösse der J-Kästchen zu bekommen (siehe Beweis der JNF).

Hier geht es aber leichter, da die in Frage kommenden Jordan-Matrizen ein verschiedenes Minimalpolynom haben. Denn eine Matrix ist ähnlich zu ihrer Jordanform und ähnliche Matrizen haben dasselbe Minimalpolynom. Deswegen musst du nur die Minimalpolynome der beiden J-Matrizen und deiner Ausgangsmatrix berechnen, dann weißt du welche es ist.

Gruß vom Ben
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, Ben! Gott

Die eine (2-2) hat x^2 und die andere (1-3) hat x^3 als Minimalpolynom.
Meine Matrix hat x^2, also ist ihre Jordannormalform die erste.
 
 
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