Diskreter Raum Beweis

10.05.2018, 16:55	Lauraundlisa1	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskreter Raum Beweis Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe. Um zu beweisen das es sich um einen Diskreten Raum handelt muss ich 3 Eigenschaften zeigen! 1) $\begin{eqnarray} P(A)\geq 0 \forall A\subset \Omega \end{eqnarray}$ Nicht Negativität 2) $\begin{eqnarray} P(\Omega)=1 \end{eqnarray}$ Nomiertheit 3) $\begin{eqnarray} P(A_{1} \cup A_{2}\cup ...\cup A_{\infty } )= \sum\limits_{k=1}^{\infty } P(A_{j}) \end{eqnarray}$ Add. zu 1) Es gilt $\begin{eqnarray} P({k}):=\frac{1}{k(k+1)} =\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray}$ . Es ist nun zu zeigen das $\begin{eqnarray} \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} >=0 \end{eqnarray}$ für alle k in Omega durch äquivalente Umformung erhalten wir $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} >=\frac{1}{k+1} \end{eqnarray}$ was offensichtlich stimmt! Wie kann ich die 2) und 3) zeigen ?
10.05.2018, 23:30	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die (3) gilt unmittelbar per Definition, weil ja auf dem Blatt P({k}) definiert wurde und dann davon auszugehen ist, dass $\begin{eqnarray} P(A):=\sum_{k\in A}P(\{k\}) \end{eqnarray}$ gesetzt wird. Für die (2) hast du den Schlüssel schon genannt: 1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1). Schreibe dir die Reihe mal so auf und schreibe dir dann die ersten drei bis vier Summanden explizit hin. Fällt dir etwas auf? (Stichwort: Teleskopsumme) LG sibelius84

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