Eindeutigkeit Linearer Abbildungen

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Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit Linearer Abbildungen
Meine Frage:
Hey, habe mal wieder eine kleine Verständnisfrage zu meinen Aufgaben.

Seien


1.Gibt es eine lineare Abbildung mit F(v)=w?
2.Wenn nicht, können Sie modifizieren damit es funktioniert?
3.Ist die Abbildung F vollständig definiert durch ?


Meine Ideen:
1. Die Vektoren v sind nicht linear unabhängig, bilden also keine Basis des R3. Es gibt also keine Lineare Abbildung mit F(v)=w? Ich weiß, wenn v linear unabhängig sind gibt es mindestens eine lineare Abbildung und wenn die v eine Basis bilden, dann gibt es genau eine. Kann mich aber nicht dran erinnern, ob wir gesagt haben das es nicht trotzdem vielleicht eine geben könnte.

2. Die Wahl von spielt keine Rolle würde ich sagen, da wir immer nur Aussagen existenz von linearen Abbildung getroffen haben mit Elementen der Faser von F.

3. Bei der drei weiß ich garnicht so rirchtig was mit vollständig definiert gemeint ist. Ob damit eindeutigkeit gemeint ist? Was aber nach der 1 keine Sinn macht, sofern ist keinen Denkfehler habe.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

eine lineare Abbildung kannst du mit ihrer Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasen (e1,e2,e3) bzw. (e1,e2) identifizieren. Die Frage ist also: Gibt es ein mit

1. Gleichungspaar: also

und ,

2. und 3. Gleichungspaar: (analog aufstellen)?

Du hast völlig Recht: Wenn die drei Vektoren eine Basis wären, dann gäbe es genau eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit f(v_j)=w_j für j=1,2,3. Nun sind sie aber linear abhängig und damit keine Basis. Damit weiß man zunächst nicht, ob es eine solche lineare Abbildung gibt, und muss rechnen. Da immer noch zwei der drei Vektoren linear unabhängig sind, sagen wir zB v1 und v2, gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit f(v_j)=w_j für j=1,2. Wenn du nun den dritten Vektor gemäß als Linearkombination aus den ersten beiden schreibst, dann bekommst du

.

Falls hier gerade "zufällig" w_3 herauskommt, dann hast du damit herausgefunden, dass tatsächlich eine lineare Abbildung wie gewünscht existiert (obwohl die drei Vektoren keine Basis bilden). Falls nicht, dann weißt du damit, wie du w_3 modifizieren musst.

LG
sibelius84
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