Primzahlen |
11.05.2018, 15:38 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Primzahlen ich habe mir überlegt das mit wiederspruch zu zeigen : angenommen wäre rational , dann gibt es teilerfremde mit bzw dann auch da m,n Teilerfremd sind , so sind es auch die Quadrate , dh wäre keine ganze Zahl , also ein Wiederspruch zu pq ist eine ganze Zahl . dh ist irrational . stimmt das so? |
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12.05.2018, 09:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
teilerfremd |
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12.05.2018, 11:53 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Dh ich kann nicht folgern das keine ganze Zahl ist.. Könnte ich das vl irgendwie anders zum Widerspruch bringen? |
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12.05.2018, 12:04 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, Variante 1 wäre, deinen Beweis fortzuführen und hier zunächst mal mit n² zu multiplizieren: n²=pqm² (mit m², n² teilerfremd) => n² ist durch p teilbar, und n² ist durch q teilbar - damit gilt beides auch für n (weißt du, warum?); schreibe also n=pqn', dann kannst du das einsetzen und folgern, dass auch m durch p, q teilbar sein muss - Widerspruch zur Teilerfremdheit. Variante 2 wäre, zunächst mal oBdA p<q vorauszusetzen, sich zu überlegen, dass gilt, und damit irgendetwas Schlaues anzustellen. Habe aber jetzt keine Lust mir das weiter zu überlegen, wir haben ja eine funktionierende Variante. LG sibelius84 |
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12.05.2018, 12:21 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, weil p,q Primzahlen sind folgt aus , dass p und q n teilen. Wir hatten einen Satz der besagt dass wenn eine primzahl p das Produkt a1....ak teilt dann gibt es einen index i sodass p|ai . Hier sind aber alle ai =n Also folgt sicher das p bzw auch q n teilen. Ich habe dann dh p,q teilen m^2 also wieder wie oben auch dann m. Dann haben aber m und n den gemeinsamen Teiler pq und können nicht teilerfremd sein was ein Widerspruch zur Annahme ist. Hast du das so gemeint? |
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12.05.2018, 13:57 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man könnte auch so argumentieren. Angenommen, es gibt teilerfremde natürliche Zahlen mit , dann folgt daraus Und da und teilerfremd sind, sind es auch und . Da aber in der letzten Gleichung links eine ganze Zahl steht, folgt , also Das Produkt zweier verschiedener Primzahlen ist aber niemals eine Quadratzahl. Widerspruch! Also ist irrational. Man fragt sich nur, wozu man hier Primzahlen braucht, weil man mit derselben Argumentation für eine natürliche Zahl ja auch gleich bekommt. |
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12.05.2018, 18:40 | georg2000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
alles klar , danke euch beiden !!! |
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