Sei pr: MxN->M. pr|G bijektiv <=> G ist Graph

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Adrian98 Auf diesen Beitrag antworten »
Sei pr: MxN->M. pr|G bijektiv <=> G ist Graph
Meine Frage:
Die Aufgabe ist im Bild zu sehen, leider mit Tippfehler. Isomoprhismus soll bijektive Abbildung heißen.

Meine Ideen:
Ich glaube ich habe bereits eine Lösung, wollte mich nur vergewissern, ob ich richtig argumentiert habe. Zuerst einmal würde ich gerne wissen, ob "<=" richtig ist:

Es sei G ein Graph(f)

Angenommen, pr|G wäre nicht surjektiv

=>

Angenommen, pr|G wäre nicht injektiv

=>


=>pr|G ist bijektiv.

Würde das so stimmen? Müsste ich es evtl. ausführlicher schreiben?

Grüße,

Adrian
Adrian95 Auf diesen Beitrag antworten »

Oops, habe das Bild vergessen.
Adrian98 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gerade gemerkt, dass das was ich geschrieben habe Schmarrn ist. Hat jemand einen Ansatz für mich?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

was du geschrieben hast, ist gar nicht so schlecht! Bei injektiv würde ich argumentieren: Angenommen, pr1 sei nicht injektiv. Dann gibt es (x,p) und (x,q) in G (beide Punkte haben die selbe x-Koordinate, da sie die selbe Projektion auf die x-Koordinate haben). Evtl. siehst du schon, warum dann G nicht mehr der Graph einer Abbildung sein kann?

LG
sibelius84
Adrian98 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort!

Bezüglich deines Vorschlages, es müsste dann ein x auf 2 verschiedene Elemente abbilden, also f(x) müsste zwei verschiedene Werte annehmen und das würde der Definition der Abbildung widersprechen.

Ich tue mir ehrlich gesagt ziemlich schwer diese Schlüsse formal korrekt zu verpacken. z.B. bei dem surjektiv Beweisteil. "G,wäre kein Graph, da für jedes in einem Graph genau ein f(x) existiert." Ich denke es müsste eigentlich so zu beweisen sein, jedoch habe ich nicht wirklich Ahnung wie man so etwas lückenlos formuliert also direkt an die Definition des Graphen anknüpft :/
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Voraussetzung: sei Graph einer Abbildung .

Behauptung: ist surjektiv.

Beweis: (indirekt) Angenommen, wäre nicht surjektiv. Dann gäbe es ein mit . Dies ist ein Widerspruch dazu, dass eine Abbildung ist und mithin der Punkt in G vorkommt. Also war die Annahme falsch, und wir haben gezeigt, dass surjektiv ist.

---

Besser kann ich's nicht. Und ich meine, von deinem Versuch ist das nicht allzu weit weg. War also schon nicht so übel. smile
 
 
Adrian98 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! smile

Leider bekomme ich die andere Richtung nicht hin.

Hatte 2 Dinge bisher versucht.

Sei

Angenommen G ist kein Graph.

=>

1. Fall

Wäre G keine Teilmenge des Graphen (f) =>

Leider komme ich von hier an auf keinen Widerspruch. Kann man diesen überhaupt konstruieren oder bin ich hier in einer Sackgasse?

2. Ansatz:

Sei pr2|G bijektiv

=> Soweit müssen ja alle 1. Teil des Graphen, also alle x, in G liegen. Es kann ja aber noch vorkommen, dass ein (x,y) in G liegt, wo das y kein f(x) ist.

Hat irgendwer irgendwelche Ideen? unglücklich

Grüße,

Adrian
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es erstmal mit einem direkten Beweis probieren. Erstmal solltest du dir klar werden, was du genau zeigen musst. Du musst zeigen, dass G der Graph einer Abbildung ist. Präzise formuliert, heißt das, zu beliebig vorgegebenem m aus M musst du zeigen, dass es genau ein n aus N gibt mit (m,n) € G. Nun folgere die Existenz aus der Surjektivität, und die Eindeutigkeit aus der Injektivität.
Adrian 98 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine erneute Hilfestellung!

Ich habe evtl. den Term Graphen etwas missverstanden oder habe hier einen Denkfehler, aber müsste der Graph nicht zu jeden x genau ein f(x) auflisten und nicht nur irgendein y aus N(Denn Graph (f) = )? Die Abbildung f: M->N kann auch nicht bijektiv sein. G als Teilmenge von MxN enthält erstmal nur alle möglichen Tupel (x,y). Da es eine bijektive Projektionsabbildung ist, ist für jedes x aus M genau ein Tupel (x,y) enthalten. Aber könnte das Tupel nicht auch ein (x,y) enthalten, wo das x zwar ein Element von M ist aber das y kein f(x), da z.B. f:M->N nicht surjektiv ist? Wo stolpere ich hier mit meinen Verständnis?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Adrian 98
Danke für deine erneute Hilfestellung!

Ich habe evtl. den Term Graphen etwas missverstanden oder habe hier einen Denkfehler, aber müsste der Graph nicht zu jeden x genau ein f(x) auflisten und nicht nur irgendein y aus N(Denn Graph (f) = )?


Das ist dasselbe: G ist Graph einer Abbildung , wenn es zu jedem genau ein gibt mit .

Zitat:

Die Abbildung f: M->N kann auch nicht bijektiv sein. G als Teilmenge von MxN enthält erstmal nur alle möglichen Tupel (x,y). Da es eine bijektive Projektionsabbildung ist, ...


Das ist nicht richtig, aber auch nicht wichtig. Halte die Projektionsabbildung und die Abbildung, zu der ggfs. der Graph gehört, auseinander! (Was ist es?)

Zitat:

Aber könnte das Tupel nicht auch ein (x,y) enthalten, wo das x zwar ein Element von M ist aber das y kein f(x), da z.B. f:M->N nicht surjektiv ist? Wo stolpere ich hier mit meinen Verständnis?


Nein! smile Z.B. besteht der Graph der reellen Funktion f(x)=x² aus allen Punkten (x,x²). Bzw. etwas ausführlicher: Er besteht aus allen Punkten (x,y), für die gilt, dass y=x². Sei nun (x,y) ein beliebiger Punkt des Graphen, dann gilt automatisch y=x²=f(x). (Dafür ist der Graph ja gerade da!)
Adrian98 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, okay. Also, wäre dann folgendes eine Lösung:

Sei pr|G injektiv.

Also

Sei pr|G surjektiv

Also

=> G=Graph(f)

?
Adrian98 Auf diesen Beitrag antworten »

Oops, bei surjektiv meinte ich G statt M.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das könnte eine mögliche Lösung sein, sie ist aber m.E. nicht so besonders toll formuliert. Ich würde eher sagen: Sei m aus M, dann müssen wir zeigen, dass es genau ein n=f(m) gibt mit (m,n) € G.

Weil die Projektion surjektiv ist, gibt es jedenfalls mindestens ein (m,n) € G.

Seien nun (m,n1) und (m,n2) € G. Weil die Projektion injektiv ist, ............ . Also gibt es genau ein (m,n) € G, und G ist als Graph einer Abbildung nachgewiesen.
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